Сколькими можно заменить все звездочки на 2 четных и 3 нечетных цифры ( не обязательно различных ) в числе 2017 * 171 * * * 256 * так, чтобы полученное число делилось на 12
Число делится на 12 только если оно делится на 4 и на 3.
Чтобы число делилось на 4, две последние цифры должны образовывать число кратное 4, т.е. последняя цифра всегда четная и равна 0, 4 или 8 (т.к. только 60, 64, 68 кратны 4), а значит среди остальных звездочек имеется только одна четная и три нечетных цифры.
Чтобы число делилось на 3, сумма всех его цифр должна быть кратна 3. Заметим, что цифры 0, 4, 8 дают остатки при делении на 3 соответственно 0, 1 и 2, поэтому, какие бы цифры не стояли вместо первых четырех звездочек, т.е. какой бы не была сумма всех цифр числа без последней цифры, только одна из цифр 0, 4, 8 подходит в качестве последней. Например, если сумма всех цифр числа без последней цифры имеет остаток от деления на 3 равный 2, то чтобы число делилось на 3, в качестве последней цифры подойдет только 4, т.к. у 4 остаток при делении на 3 равен 1. Аналогично, если сумма всех цифр, кроме последней, имеет остаток 1, то в качестве последней цифры подойдет только 8 и если эта сумма кратна 3, то последняя цифра - 0. Таким образом, общее количество вариантов равно количеству вариантов для первых четырех звездочек, а последняя звездочка для каждого такого варианта определяется однозначно.
Итак, каждая звездочка из первых четырех может принимать пять значений. Если она четная, то это 0,2,4,6,8 и если она нечетная, то это 1,3,5,7,9. Также, мы знаем, что четная звездочка только одна, т.е. она может занимать одну из 4 позиций. Отсюда общее количество искомых чисел равно 4*5⁴=2500.
|х+14| - 7* |1 - х| > х или что тоже самое |х+14| - 7* |x -1| > х разобьем на три интервала 1) х+14<0 и x-1<0 x<-14 и x<1 объединяя оба эти условия получим x<-14 на этом интервале наше неравенство имеет вид -(х+14) + 7* (x -1) > х -x-14+7x-7>x 6x-21>x 5x>21 x>21/5 но это противоречит условию x<-14. На этом интервале решения нет. 2) х+14≥0 и x-1<0 x≥-14 и x<1 объединяя оба эти условия получим -14≤x<1 на этом интервале наше неравенство имеет вид (х+14) + 7* (x -1) > х x+14+7x-7>x 8x+7>x 7x>-7 x>-1 объединяя это условие с -14≤x<1 получим -1 <x<1
3) х+14≥0 и x-1≥0 x≥-14 и x≥1 объединяя оба эти условия получим x≥1 на этом интервале наше неравенство имеет вид (х+14) - 7* (x -1) > х x+14-7x+7>x -6x+21>x 21>7x 3>x объединяя это условие с x≥1 получим 1≤x<3 теперь последнее действие: объединим решения 2) и 3) -1 <x<3 или x∈(-1;3)
Чтобы число делилось на 4, две последние цифры должны образовывать число кратное 4, т.е. последняя цифра всегда четная и равна 0, 4 или 8 (т.к. только 60, 64, 68 кратны 4), а значит среди остальных звездочек имеется только одна четная и три нечетных цифры.
Чтобы число делилось на 3, сумма всех его цифр должна быть кратна 3. Заметим, что цифры 0, 4, 8 дают остатки при делении на 3 соответственно 0, 1 и 2, поэтому, какие бы цифры не стояли вместо первых четырех звездочек, т.е. какой бы не была сумма всех цифр числа без последней цифры, только одна из цифр 0, 4, 8 подходит в качестве последней. Например, если сумма всех цифр числа без последней цифры имеет остаток от деления на 3 равный 2, то чтобы число делилось на 3, в качестве последней цифры подойдет только 4, т.к. у 4 остаток при делении на 3 равен 1. Аналогично, если сумма всех цифр, кроме последней, имеет остаток 1, то в качестве последней цифры подойдет только 8 и если эта сумма кратна 3, то последняя цифра - 0. Таким образом, общее количество вариантов равно количеству вариантов для первых четырех звездочек, а последняя звездочка для каждого такого варианта определяется однозначно.
Итак, каждая звездочка из первых четырех может принимать пять значений. Если она четная, то это 0,2,4,6,8 и если она нечетная, то это 1,3,5,7,9. Также, мы знаем, что четная звездочка только одна, т.е. она может занимать одну из 4 позиций. Отсюда общее количество искомых чисел равно 4*5⁴=2500.