Question

Решить систему: 4x1 - 5x2 + 4x3 - 5x4 = -3 -x1 + 4x2 - 2x3 - 3x4 = 0 x1 + 4x2 + x3 = 3

Answer 1

-5х₄ + 4х₃ + 4х₁ -5х₂ = -3
-3х₄ + - 2х₃ + -х₁ +4х₂ = 0
х₃ +х₁ +4х₂ = 3
Приведем систему ур-ний к каноническому виду:
4х₁ - 5х₂ + 4х₂ - 5х₄ = -3
-х₁ + 4х₂ - 2х₃ -3х₄ = 0
х₁ +4х₂ +х₃ = 3
Запишем систему линейных ур-ний в матрическом виде:
     4   -5   4   -5   -3
    -1   4  -2   -3    0
    1    4   1     0   3
В первом столбце  4  делаем так, чтобы все элементы, кроме 3-го
                                -1  элемента равнялись нулю.
                                1
Для этого берем 3-ю строчку        1   4   1   1   0   3
и будем вычитать ее из других строк:
Из первой строки вычитаем:
[0  -21  0  -5  -15] = [ 0  -21  0  -5  -15]
получаем
                 0   -21   0    -5   -15
                 -1   4   -2    -3      0
                 1     4    1     0      3
Из второй строки вычитаем
[ 0  8  -1  -3  3]=[0  8  -1  -3  3]
получаем  
                   0   -21   0   -5   -15
                   0     8   -1   -3      3
                   1     4    1     0      3
Во 2-м столбце   -21      делаем так, чтобы все элементы , кроме
                                8      1-го элемента равнялись нулю.
                                4
Для этого берем первую строку [0  -21  0  -5  -15]
и будем вычитать ее из других строк.
Из 2-ой строки вычитаем:
          [0   0   -1   -3   -40/21   -40/7   3]=[ 0   0   -1   -103/21   -19/7]
получаем
                    0   -21   0      -5               -15
                    0      0   -1   -103/21        -19/7
                    1     4     1        0                 3
Из 3-й строки вычитаем
[1  0   1  -20/21    -20/7    3]=[1   0   1   -20/21    1/7]
получаем
                     0   -21   0     -5            -15
                     0      0   -1    -103/21     -19/7
                      1      0    1    -20/21     1/7
В 3-ем столбце   0   делаем так, чтобы все элементы, кроме 2-го
                            -1   элемента равнялись нулю.
                             1
Для этого берем 2-ую строку
[0   0   -1   -103/21   -19/7]
и будем вычитать ее из других строк.
Из 3-й строки вычитаем:
[1   0   0   -103/21   -20/21   -19/7    1/7]=[1   0   0    -41/7   -18/7]
получаем
                   0   -21   0   -5            -15
                   0    0   -1   -103/21   -19/7
                   1    0    0   -41/7        -18/7
Осталось решить элементарные ур-ния
-21х₂ - 5х₄ + 15 = 0
-х₃ - 103х₄/21 + 19/7 = 0
х₁ - 41х₄/7 + 18/7 = 0
Получаем ответ:
х₂ = -5х₄/21 + 5/7
х₃ = -103х₄/21 + 19/7
х₁ = 41х₄/7 - 18/7                где х₄ - свободная переменная
г