Добрый день! Рассмотрим задачу на нахождение экстремумов функции z=x^2+xy+y^2-2x-y.
Для начала, мы можем использовать метод частных производных для поиска экстремумов. Для этого найдем частные производные функции z по переменным x и y и приравняем их к нулю.
Частная производная функции z по x (обозначим ее как ∂z/∂x) равна:
∂z/∂x = 2x + y - 2.
Частная производная функции z по y (обозначим ее как ∂z/∂y) равна:
∂z/∂y = x + 2y - 1.
Теперь приравняем их к нулю и решим уравнения:
2x + y - 2 = 0, (1)
x + 2y - 1 = 0. (2)
Из уравнения (1) можно выразить y:
y = 2 - 2x. (3)
Подставим это значение y в уравнение (2):
x + 2(2 - 2x) - 1 = 0,
x + 4 - 4x - 1 = 0,
-3x + 3 = 0,
-3x = -3,
x = 1.
Теперь, найдем значение y, подставив найденное значение x в уравнение (3):
y = 2 - 2*1,
y = 0.
Таким образом, точка (x, y) = (1, 0) является стационарной точкой.
Для ответа на вопрос о типе экстремума, введем вторые частные производные.
Частная производная из уравнения (1) по x равна:
∂^2z/∂x^2 = 2.
Частная производная из уравнения (2) по y равна:
∂^2z/∂y^2 = 2.
Частная производная из уравнения (1) по y равна:
∂^2z/∂y∂x = 1.
Частная производная из уравнения (2) по x равна:
∂^2z/∂x∂y = 1.
Получили, что D > 0, что говорит нам о том, что в точке (1, 0) функция имеет локальный экстремум.
Теперь, чтобы определить, является ли этот экстремум максимумом или минимумом, воспользуемся следующим правилом:
- Если (∂^2z/∂x^2) > 0 и D > 0, то это экстремум является локальным минимумом.
- Если (∂^2z/∂x^2) < 0 и D > 0, то это экстремум является локальным максимумом.
В нашем случае, (∂^2z/∂x^2) = 2 > 0 и D = 3 > 0, следовательно, экстремум является локальным минимумом.
Таким образом, функция z=x^2+xy+y^2-2x-y имеет локальный минимум в точке (1, 0) со значением z = 1.
Надеюсь, объяснение было понятным и подробным. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их!
Для решения этой задачи нам нужно использовать меру угла в градусах и единичную окружность.
Давайте рассмотрим каждый вариант по очереди.
a) 315°
Чтобы найти точку B на единичной окружности, соответствующую углу поворота 315°, мы должны начать из начальной точки (позиция 0°) и провести луч, поворачивая его на 315° против часовой стрелки.
Меру угла 315° можно представить в виде суммы двух мер углов: 360° и -45°. То есть, мы можем сначала провести луч, поворачивая его на 360° против часовой стрелки и затем дополнительно повернуть на -45° (в обратном направлении).
Поскольку после поворота на 360° точка возвращается в изначальное положение, мы можем пропустить этот шаг и сосредоточиться только на втором шаге - повороте на -45°.
Для этого мы ищем точку, находящуюся на единичной окружности на противоположном от направления вращения луче и на расстоянии 45° от начальной точки. Поскольку мы идем против часовой стрелки, посмотрим на точку, находящуюся на 45° против часовой стрелки от начальной точки.
Таким образом, точка B на единичной окружности, соответствующая углу поворота 315°, будет находиться примерно в этом месте на окружности:
-----> (0°)
| / B
| /
| /
| /
б) 930°
Аналогично предыдущему вопросу, мы можем разделить угол 930° на две части: 360° и 570°. Поскольку поворот на 360° приведет нас обратно в исходное положение, мы можем сосредоточиться только на втором шаге - повороте на 570°.
Проведя луч, поворачивая его на 570° против часовой стрелки, мы найдем точку B на единичной окружности:
-----> (0°)
| B
_| (570°)
в) -1740°
В этом случае мы имеем отрицательную меру угла, что означает поворот в обратном направлении, против часовой стрелки.
Мы снова можем разделить угол -1740° на две части: -1440° и -300°. Поворот на -1440° приведет нас обратно в исходное положение (0°), поэтому мы можем сосредоточиться только на втором шаге - повороте на -300°.
Проведя луч в обратном направлении, повернув его на -300° от начальной точки, мы найдем точку B на единичной окружности:
-----> (0°)
| /
_| / B (300°)
г) -2025°
Аналогично предыдущему вопросу, у нас есть отрицательная мера угла.
Мы разделим угол -2025° на две части: -1440° и -585°. Как уже установлено, поворот на -1440° приведет нас обратно в исходное положение (0°), поэтому мы можем сосредоточиться только на втором шаге - повороте на -585°.
Проведя луч в обратном направлении, повернув его на -585° от начальной точки, мы найдем точку B на единичной окружности:
-----> (0°)
| /
_| / B (585°)
Надеюсь, что это подробное решение помогло вам понять, как найти точку B на единичной окружности для каждого варианта угла поворота.
