Question

1/1*2*3+1/2*3*4+1/3*4*5++1/n(n+1)(n+2)=?

Answer 1

Доброй ночи!

Представим дробь

1/n(n+1)(n+2)  в виде суммы дробей A/n + B/(n+1) + C/(n+2)

Приведём к единому знаменателю и получим такой числитель

А(n+1)*(n+2) + B(n*(n+2) + C(n*(N+1) = A(n2+3n+2)+B(n2+2n)+C(n2+n) =

n2(A+B+C) + n(3A+2B+C) + 2A

Числитель должен быть равен 1. Данное условие должно выполняться при лююбом n. Получаем, коэффиуиенты при n2 и n должны быть равны 0, а 2A = 1

A =1/2

A+B+C = 0

3A+2B+C = 0

Вычитаем из второго уравнения первое и получаем равносильное уравнение

2A + B = 0. B = -1

C = 1/2

Получаем, 1/n(n+1)(n+2) = 1/(2n) - 1/(n+1)+1/2(n+2)

n = 1  1/2 - 1/2 + 1/6

n = 2  1/4 - 1/3 + 1/8

n = 3  1/6 - 1/4 + 1/10

n = 4  1/8 - 1/5 + 1/12

сумма первых членов равна

1/4 - 1/10 + 1/12

n = 5 1/10 - 1/6 + 1/14

сумма пяти членов равна

1/4 -1/12 + 1/14 или равна 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)

Покажем по индукции что начиная со второго сумма членов указанной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2)

n = 1

По формуле получаем 1/4 - 1/2*3 + 1/ 2*4 = 1/4 - 1/6 + 1/8 = сумме первых двух членов. Проверьте сами.

Сумма первых четрёх членов равна  = формуле  1/4 - 1/2(n+1) + 1/2(n+2) с n = 4

Покажем теперь, что если сумма первых k членов заданной последовательности вычисляется по формуле 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2)

То и для суммы k+1 члена последовательности формула выполняется.

Sk = 1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) - сумма первых k членов последовательности.

Sk+1 = Sk + 1/(k+1)(k+2)(k+3) =

1/4 - 1/2(k+1) + 1/2(k+2) + 1/(2(k+1)) - 1/(k+1+1)+1/2(k+1+2) =

1/4 + 1/2(k+2) - 1/(k+2) + 1/(2(k+3)) = 1/4 - 1/2(k+2) + 1/2(k+3)

То есть формула верна и для суммы к+1 одного члена последовательности.

ответ: Sn = 1/4 -1/2(n+1) +1/2(n+2)