Question

Найти область значений функции f(x)=7cosx-9sinx+13 можете все расписать

Answer 1

Для начала преобразуем функцию $g(x)=7 \cos x-9 \sin x$ . Для этого воспользуемся так называемым методом дополнительного (вс аргумента.

$g(x)=7\cos x-9\sin x=$
$=\sqrt{7^2+9^2}\left(\dfrac{7}{\sqrt{7^2+9^2}}\cdot\cos x- \dfrac{9}{\sqrt{7^2+9^2}}\cdot\sin x \right)=$
$=\sqrt{130}\left(\dfrac{7}{\sqrt{130}}\cdot\cos x- \dfrac{9}{\sqrt{130}}\cdot\sin x \right) .$

Введём угол $\alpha$ такой, что $\begin{cases} & \cos \alpha =\dfrac{7}{\sqrt{130}} \\ & \sin \alpha =\dfrac{9}{\sqrt{130}} \end{cases}$.

Теперь функция принимает вид: $g(x)=\sqrt{130}\left(\cos \alpha \cos x-\sin \alpha \sin x\right) = \sqrt{130}\cos { (\alpha +x)} .$

Вспоминаем про исходную функцию: $f(x)=g(x)+13.$ 

Проведём цепочку эквивалентных преобразований:
$1\geqslant\cos {( \alpha +x)} \geqslant-1 \\ \sqrt{130}\geqslant\ \sqrt{130}\cos {( \alpha +x)}\geqslant-\sqrt{130} \\ \sqrt{130}\geqslant\ g(x)\geqslant-\sqrt{130} \\ \sqrt{130}+13\geqslant\ g(x)+13\geqslant-\sqrt{130} +13 \\ \sqrt{130}+13\geqslant\ f(x)\geqslant-\sqrt{130} +13. \\$

ответ: $\sqrt{130}+13\geqslant\ f(x)\geqslant-\sqrt{130} +13.$