Тут следует сказать, что минимум функции все-таки определяется наличием нуля в производной. То есть минимум - будет критической точкой. А вот наименьшее значение функции - обычно это понятие применяется, если речь ведут об отрезке или интервале (как конечном так и бесконечном). Насчет минимума функции - не знаю случаев, когда он не достижим. Насчет наименьшего значения - этого утверждать не могу. Он может и не достигаться.
Например.
Найдем производную.
Производную приравняем нулю
В точке х=3 производная меняет знак с минуса на плюс (это минимум),
Значение функции равно (-8).
В точке 
производная меняет знак с плюса на минус - это максимум.
А вот наименьшее значение функции на всей оси недостижимо. Это 
при 
.
5x^-17x-12>0
приравниваем к нулю
D=289-240=49 D>0-2k
x1=(17+7):10=2 целых 2/5
x2=(17-7):10=1
x^-121<0
приравниваем к нулю и решаем
x^=121
x1|2=+-11
x^>4,7x
приравниваем..переносим 4,7х в лево получим это же число с
противоположным знаком.
x^-4,7x=0
выносим х за скобки
x(x-4,7)=0
х=0 или х-4,7=0
х=4,7
x(x-7)-18>7(9-x)
откроем скобки и получим:
х^-7x-18=63-7x
переносим в лево
x^-81=0
x1|2=+-9
(x+9) (x-3) <0
откроем скобки и приравняем к нулю
x^-3x+9x-27=0
x^+6x-27=0
D1=9+27=36
x1=(-3+6)=3
x2=(-3-6)=-9
чертишь плоскость и интервалы в первом интервале будет + а остальные чередуются тоесть...+-+-+...и т.д.
