Question

Найдите все трёхзначные числа n, для которых n2+8n-85 делится на 101

Answer 1

Пусть:
$\frac{n^2+8n-85}{101} =t$,
где t ∈ N

Попробуем решить уравнение относительно n, отбросив вариант отрицательного n

$n^2+8n-85 = 101t \\ \\ n^2+8n - (85 + 101t) =0 \\ \\ n = -4+ \sqrt{(-4)^2 -1*(-(85+101t))} =-4+ \sqrt{101(1+t)}$

Чтобы n получилось целым, выражение 101(1 + t) под корнем д.б. полным квадратом. А это возможно, если (1 + t) состоит из множителя 101 и квадрата какого-то числа. Дальше остаётся перебор вариантов, когда число n трёхзначное. Приступим:

$1 + t = 101 * 1^2; n = -4 + \sqrt{101*101*1^2} =-4+101 =97 \\ \\ 1 + t = 101 *2^2; n = -4 + \sqrt{101*101*2^2} =-4+202 =198 \\ \\ 1 + t = 101 * 3^2; n = -4 + \sqrt{101*101*3^2} =-4+303 =299 \\ \\ 1 + t = 101 * 4^2; n = -4 + \sqrt{101*101*4^2} =-4+404 =400 \\ \\ 1 + t = 101 *51^2; n = -4 + \sqrt{101*101*5^2} =-4+505 =501 \\ \\ 1 + t = 101 * 6^2; n = -4 + \sqrt{101*101*6^2} =-4+606 =602 \\ \\ 1 + t = 101 * 7^2; n = -4 + \sqrt{101*101*7^2} =-4+707 =703$

$1 + t = 101 * 8^2; n = -4 + \sqrt{101*101*8^2} =-4+808 =804 \\ \\ 1 + t = 101 * 9^2; n = -4 + \sqrt{101*101*9^2} =-4+909 =905 \\ \\ 1 + t = 101 * 10^2; n = -4 + \sqrt{101*101*10^2} =-4+1010 =1006$

Итак, искомые трёхзначные числа следующие:
198, 299, 400, 501, 602, 703, 804, 905

Answer 2

Это задача не для математики, а для программирования.
Эти числа:
n = 198; n^2 + 8n - 85 = 40703 = 403*101
n = 299; n^2 + 8n - 85 = 91708 = 908*101
n = 400; n^2 + 8n - 85 = 163115 = 1615*101
n = 501; n^2 + 8n - 85 = 254924 = 2524*101
n = 602; n^2 + 8n - 85 = 367135 = 3635*101
n = 703; n^2 + 8n - 85 = 499748 = 4948*101
n = 804; n^2 + 8n - 85 = 652763 = 6463*101
n = 905; n^2 + 8n - 85 = 826180 = 8180*101