Question

Составьте уравнение нормали к линии y=-sqrt(x)+2 в точке ее пересечения с биссектрисой первого координатного угла, где sqrt - квадратный корень. много !

Answer 1

Для начала найдем точку пересечения с биссектрисой первого координатного угла:
Биссектрисой этого угла является прямая y=x
тогда:
$\left \{ {{y=-\sqrt{x}+2} \atop {y=x}} \right. \\x=-\sqrt{x}+2 \\\sqrt{x}=2-x \\x=x^2-4x+4,\ x \geq 0;\ 2-x \geq 0; \ x \leq 2; \ x \in [0;2] \\x^2-5x+4=0 \\D=25-16=9=3^2 \\x_1= \frac{5+3}{2} =4 \notin [0;2] \\x_2= \frac{5-3}{2} =1 \in [0;2]$
y=1
точку пересечения нашли: (1;1)
теперь ищем уравнение нормали:
общая формула:
$y=f(x_0)- \frac{1}{f'(x_0)} *(x-x_0)$
в данной задаче:
x0=1
f(1)=-1+2=1
$f'(x)=(-x^{ \frac{1}{2} }+2)'=- \frac{1}{2}*x^{ \frac{1}{2}-1}= - \frac{1}{2}* \frac{1}{\sqrt{x}} =- \frac{1}{2\sqrt{x}} \\f'(1)=- \frac{1}{2} =-0.5$
подставляем значения в уравнение:
$y=1- \frac{1}{-0,5} *(x-1)=1+2x-2=2x-1$
y=2x-1 - искомая нормаль
ответ: y=2x-1

Answer 2

Условие выглядит сложно. Но на самом деле все очень просто.

Биссектриса первого координатного угла. Это всего лишь график функции y=x. Действительно, он делит первый координатный угол пополам. Значит, найдем точку пересечения y=x и y=-sqrt(x)+2:

$\displaystyle \left \{ {{y=-\sqrt{x}+2} \atop {y=x}} \right. =\ \textgreater \ \,\,\,x=-\sqrt{x}+2\\\\\\x-2=-\sqrt{x}\\\\(x-2)^2=(-\sqrt{x})^2\\\\x^2-4x+4=x\\\\x^2-5x+4=0\\\\D=25-16=9\\\\x_1=\frac{5+3}2=4\\\\x_2=\frac{5-3}2=1$

Из за того, что мы возвели обе части в квадрат, появился лишний корень. Найдем его:

$x=1:\\1=-\sqrt{1}+2\\1=1\\\\x=4:\\4=-\sqrt4+2\\4=-2+2\\4 \neq 0$

Осталось построить уравнение нормали в точке x=1.

$\displaystyle y=y(x_o)-\frac{1}{y'(x_o)}(x-x_o)\\\\\\y(x_o)=y(1)=-\sqrt1+2=1\\\\y'(x)=(-\sqrt{x})'=-\frac{1}2*\frac{1}{\sqrt{x}}\\\\y'(x_o)=y'(1)=-\frac{1}2*\frac{1}{1}=-\frac{1}2\\\\\\y=1-\frac{1}{-\frac{1}2}(x-1)\\\\y=1+2(x-1)\\\\y=1+2x-2\\\\\boxed{y=2x-1}$