1) Событие А - "по крайней мере, один раз выпавшее очко окажется меньше 3" - представляет собой сумму трёх несовместных событий: А1 - при первом бросании выпадет меньше 3 очков, при втором - 3 или больше; А2 - при первом бросании выпадет 3 очка или больше, при втором - меньше 3; А3 - при обоих бросаниях выпадет меньше 3 очков.
Вероятности этих событий Р1=1/3* 2/3=2/9, Р2=2/381/3=2/9, Р3=1/3*1/3=1/9.
Так как А=А1+А2+А3 и события А1,А2 и А3 несовместны, то искомая вероятность Р=Р1+Р2+Р3=5/9. ответ: 5/9.
2) Искомое событие А является суммой двух несовместных событий: А1 - при первом бросании выпадет меньше 3 очков, при втором - 3 или больше; А2- при первом бросании выпадет 3 очка или больше, при втором -меньше 3. Вероятности этих событий Р1=1/3*2/3=2/9, Р2=2/3*1/3=2/9. Тогда А=А1+А2 и Р=Р1+Р2=4/9. ответ: 4/9.
Дана функция f(x)=2+9x+3x^2-x^3 Найти : 1. критические точки функции ; 2. экстремума функции .
1. f(x)= - x³ + 3x² + 9x +2 * * * ООФ : x ∈ R * * * Критическая точка функции , эта точка в которой ее производная равна нулю или не существует . Здесь функция непрерывная и имеет производную в любой точке (многочлен 3-й степени с вещественными коэффициентами ) . --- f ' (x) = (-x³ + 3x² + 9x +2 ) ' = (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = (-x³) ' + (3x²) ' +( 9x ) ' +(2) ' = -3x² +3*(x²) ' +9*(x) ' + 0 = - 3x² +3*2x +9*1 = - 3(x² -2x -3) = - 3 (x+1)(x - 3). * * * x² -2x -3= x² -2x -3 =(x² + x) - (3x +3) =x(x + 1) - 3(x +1) =(x+1)(x-3) * * * f ' (x) =0 ; -3(x+1)(x-3) =0 ; * * * [ x+1 =0 ; x-3 =0 * * * x₁ = -1 ; x₂ = 3 . Следовательно критические точки функции : - 1 и 3.
2. Если производная функции в критической точке a) меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ; b) меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ; c) не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
f ' (x) = - 3 (x+1)(x-3)
f ' (x) " - " " + " " - " (-1) ( 3) f(x) убывает (↓) min возрастает(↑) max убывает (↓)
(точками экстремума : x = -1 ; x = 3) x = -1 является точкой минимума x = 3 _точкой максимума
