Question

Доказать , что функции f(x)и φ(x) при x→0 бесконечно малыми одного порядка малости f(x)=x^2−cos2x, φ(x)=6x^2.

Answer 1

Если   $\lim\limits _{x \to x_0} \frac{f(x)}{\varphi (x)} =const\ne 0$  , то   $f(x)$  и   $\varphi (x)$  одного порядка малости.

$\lim\limits _{x \to 0} \frac{x^2-cos2x}{6x^2} = \lim\limits _{x \to 0}(\frac{1}{6}- \frac{cos2x}{6x^2} )= \lim\limits _{x \to 0} (\frac{1}{6}- \frac{1-2sin^2x}{6x^2} )=\\\\= \lim\limits _{x \to 0}(\frac{1}{6}-\frac{1}{6x^2}+\frac{sin^2x}{3x^2} )= \lim\limits _{x \to 0}(\frac{1}{6}-\frac{1}{6x^2} +\frac{x^2}{3x^2} )=\\\\= \Big [\, \frac{1}{6} -\infty +\frac{1}{3}\, \Big ]=\infty$

Величина  $\varphi (x)=6x^2$  является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем величина  $f(x)=x^2-cos2x$ .