Question

Решите неравенство 1/х-1+1/2-х< =5

Answer 1

$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{2-x}-5\leq0$

Рассмотрим функцию $f(x)=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{2-x}-5$.

Найдем область определения функции: функция существует, когда знаменатель дроби не обращается в ноль

$\displaystyle \left \{ {{2-x\ne0} \atop {x-1\ne0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~~\left \{ {{x\ne2} \atop {x\ne 1}} \right.$

$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;2)\cup(2;+\infty)$

Найдем теперь нули функции:

$\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{2-x}-5=0~~~~\bigg|\cdot (x-1)(2-x)\\ \\ 2-x+x-1+5(x-1)(x-2)=0\\ \\ 1+5(x^2-3x+2)=0\\ \\ 5x^2-15x+11=0\\ \\ D=(-15)^2-4\cdot5\cdot11=5\\ \\ x_{1,2}=\dfrac{15\pm\sqrt{5}}{10}$

ответ: $x \in \bigg(-\infty;1\bigg)\cup\left[\dfrac{15-\sqrt{5}}{10};\dfrac{15+\sqrt{5}}{10}\right]\cup\bigg(2;+\infty\bigg)$