Cos4x cos2x - sin4x sin2x = - 1/2 или хотя бы cos4x cos2x - id842968620201117 от дядя22323 17.11.2020 07:43

Question

Алгебра: Cos4x cos2x - sin4x sin2x = - 1/2 или хотя бы cos4x cos2x

дядя22323 · Accepted Answer

На координатной плоскости возьмем точки А(1;0), В(0;1) и С((х√3)/2; x/2).
Тогда BC=√(3x²/4+(1-x/2)²)=√(x²-x+1), AC=√((х√3)/2-1)²+x²/4)=√(x²-х√3+1), AB=√2. Т.к. по неравенству треугольника BC+AC≥AB, то
√(x²-x+1)+√(x²-х√3+1)≥√2. Равенство здесь достигается при C∈AB, а именно, при х=√3-1. Действительно:
√((√3-1)²-(√3-1)+1)=√(6-3√3)=√3·√(2-√3)=√3·√((√3-1)²/2)=(3-√3)/√2.
√((√3-1)²-√3(√3-1)+1)=√(2-√3)=√((√3-1)²/2)=(√3-1)/√2.
Сумма этих выражений равна √2. Таким образом, после умножения на √2, получим, что минимальное значение равно 2.

P.S. x=√3-1 найдено из соображений, что точка С((х√3)/2; x/2) должна лежать на прямой AB, задаваемой уравнением u+v=1. Т.е. должно выполняться (х√3)/2+x/2=1, откуда x=√3-1.

Cos4x cos2x - sin4x sin2x = - 1/2 или хотя бы cos4x cos2x

MOGZ ответил