Question

Решите уравнение: 2cos^2(x/2)-3sinx+2=0 . заранее ! )

Answer 1

$2cos^2( \frac{x}{2} )-3sinx+2=0 \\ 2*\frac{1+cosx}{2} -3sinx+2=0 \\1+cosx-3sinx+2=0 \\cosx-3sinx+3=0$
возьмем тангенс половинного угла:
$tg (\frac{x}{2} )= \frac{sinx}{1+cosx} = \frac{1-cosx}{sinx}$
и сделаем замену:
$y=tg (\frac{x}{2} ) \\y=\frac{sinx}{1+cosx} \\sinx=y+ycosx \\y=\frac{1-cosx}{sinx} \\sinx*y=1-cosx \\cosx=1-sinx*y \\sinx=y+y*(1-sinx*y) \\sinx=y+y-y^2*sinx \\y^2*sinx+sinx=2y \\sinx(y^2+1)=2y \\sinx= \frac{2y}{y^2+1} \\cosx=1-\frac{2y}{y^2+1} *y= \frac{y^2+1-2y^2}{y^2+1} = \frac{1-y^2}{y^2+1}$
получим:
$\frac{1-y^2}{y^2+1} -3*\frac{2y}{y^2+1} +3=0 \\1-y^2-3*2y+3(y^2+1)=0 \\1-y^2-6y+3y^2+3=0 \\2y^2-6y+4=0 \\y^2-3y+2=0 \\D=9-8=1 \\y_1= \frac{3+1}{2} =2 \\y_2= \frac{3-1}{2} =1$
обратная замена:
$tg (\frac{x}{2} )=1 \\\frac{x}{2}= \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n \in Z \\x_1= \frac{\pi}{2}+ 2\pi n ,\ n \in Z \\tg (\frac{x}{2} )=2 \\\frac{x}{2} =arctg(2)+\pi n,\ n \in Z \\x_2=2arctg(2)+2\pi n,\ n \in Z$
ответ: $x_1= \frac{\pi}{2}+ 2\pi n ,\ n \in Z;\ x_2=2arctg(2)+2\pi n,\ n \in Z$