Пусть g(x)=x/(x+1) Функция f определена на интервале [0;1). Найдем, при каких х дробь x/(x+1) принадлежит указанному интервалу. Решаем неравенство: 0≤х/(х+1) < 1, которое равносильно системе неравенств: {x/(x+1) >0; {x/(x+1)-1<0.
или {x/(x+1) >0; {-1/(x+1)<0.
{x+1>0 {x≥0
Решением данного неравенства является х≥0 или х∈[0;+∞)
Построим график функции g(x)=x/(x+1). Выделим целую часть g(x)=(x+1-1)/(x+1); g(x)=1-(1/(x+1))- гипербола Cм. рисунок в приложении Найдем при каких х g(x)∈[0;1) 0≤g(x)<1 ⇒ 0≤x< + ∞ или х∈[0;+∞) О т в е т. D(f(x/(x+1))=[0;∞)
А)y`=dy/dx (1+eˣ)ydy=eˣdx - уравнение с разделяющимися переменными ydy=eˣdx/(1+eˣ) ∫ydy=∫eˣdx/(1+eˣ) y²/2=ln|eˣ+1| + c - общее решение Можно вместо с взять lnC и заменить сумму логарифмов, логарифмом произведения. Так как eˣ>0, то eˣ+1>0, знак модуля можно опустить. y²/2=lnС(eˣ+1) - общее решение при у=1 х=0 1/2=ln2C 2C=√e C=(√e)/2
y²/2=ln((eˣ+1)· (√e)/2) - частное решение можно умножить на 2 y²=2ln((eˣ+1)· (√e)/2) или y²=ln((eˣ+1)²·e/4) - частное решение
b) y`=dy/dx tgxdy=y㏑ydx - уравнение с разделяющимися переменными dy/ylny=dx/tgx; ∫dy/ylny=∫dx/tgx; ∫d(lny)/lny=∫d(sinx)/sinx; ln|lny)=ln|sinx|+lnC; ln|lny|=ln|Csinx| - общее решение дифференциального уравнения.
При y=e x=π/4 ln|lne|=ln|Csin(π/4)| ln|1|=ln|C√2/2| 1=C√2/2 C=√2 ln|lny|=ln|(√2)·sinx| - частное решение дифференциального уравнения.
