Question

Известно, что уравнение x^4-12x^3+ax^2+bx+81=0 имеет (с учетом кратности) четыре положительных корня. найдите a-b

Answer 1

x^4 - 12x^3 + ax^2 + bx + 81=0 
Если оно имеет 4 положительных корня, то его можно разложить
(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0
Если раскрыть скобки и привести подобные, то мы получим теорему Виета для уравнения 4 степени:
{ x1 + x2 + x3 + x4 = 12
{ x1*x2 + x1*x3 + x1*x4 + x2*x3 + x2*x4 + x3*x4 = a
{ x1*x2*x3 + x1*x2*x4 + x1*x3*x4 + x2*x3*x4 = -b
{ x1*x2*x3*x4 = 81
Из 1 и 4 уравнения можно найти единственное целое решение:
x1 = x2 = x3 = x4 = 3
Тогда 2 и 3 уравнения запишутся так:
{ 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 + 3*3 = 54 = a
{ 3*3*3 + 3*3*3 + 3*3*3 + 3*3*3 = 108 = -b
a - b = 54 + 108 = 162
Корни могут быть не обязательно целыми, но разность a-b все равно останется такой же.
ответ: 162