Question

Надо решить дифференциальное уравнение y'+x^2y=x^2

Answer 1

Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.
Применим метод Лагранжа или так называемый "метод вариации произвольных постоянных).
1) Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:
$y'+x^2y=0$ - это уравнение ни что иное как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
$\displaystyle \frac{dy}{y} =-x^2dx~~~\Rightarrow~~~~~ \int\frac{dy}{y} =-\int x^2dx;~~~\Rightarrow~~~~ y=Ce^{-x^3/3}$

2) Примем нашу константу за функцию, то есть, $C=C(x)$ получим $y=C(x)e^{-x^3/3}$

И тогда, дифференцируя по правилу произведения, получим 
$y'=C'(x)e^{-x^3/3}-x^2C(x)e^{-x^3/3}$

Подставим теперь все эти данных в исходное дифференциальное уравнение
$C'(x)e^{-x^3/3}-x^2C(x)e^{-x^3/3}+x^2C(x)e^{-x^3/3}=x^2\\ \\C'(x)e^{-x^3/3}=x^2~~~\Rightarrow~~~ C(x)=\displaystyle \int x^2e^{x^3/3}dx=\int e^{x^3/3}d\bigg( \frac{x^3}{3}\bigg)=e^{x^3/3}+C_1$

И тогда общее решение неоднородного уравнения:
           $y=e^{-x^3/3}\cdot(e^{x^3/3}+C_1)=1+C_1e^{-x^3/3}$