Объяснение:
1) прямая у=2x+37 не является касательной к графику функции f(x)=x³-3x²-7x+10 ни при каких значениях x. Докажем это. Предположим что это не так. пусть графики данных функций касаются в некоторой точке x₀=t. Тогда f(t)=t³-3t²-7t+10
f'(x)=3x²-6x-7; f'(t)=3t²-6t-7
Уравнение касательной будет иметь вид:
y=f(t)+f'(t)(x-t)=t³-3t²-7t+10+(3t²-6t-7)(x-t)=(3t²-6t-7)x-2t³+3t²+10=2x+37⇔
3t²-6t-7=2 и -2t³+3t²+10=37
3t²-6t-7=2
3t²-6t-9=0
t²-2t-3=0⇒t₁=-1, t₂=3
t=-1⇒-2t³+3t²+10=2+3+10=15≠37
t=3⇒-2t³+3t²+10=-16+27+10=21≠37
t∈∅
2) прямая у=x+1 касается к графику функции f(x)=ах²+2x+3
а≠0, иначе прямая касалась бы прямой.
Пусть графики данных функций касаются в некоторой точке x₀=t. Тогда f(t)=аt²+2t+3
f'(x)=2ax+2; f'(t)=2at+2
Уравнение касательной будет иметь вид:
y=f(t)+f'(t)(x-t)=аt²+2t+3+(2at+2)(x-t)=(2at+2)x-at²+3=x+1⇔2at+2=1 и -at²+3=1
2at+2=1⇒at=-0,5
2=at²=at·t=-0,5t⇒t=-4⇒a=1/8
3) x(t)=0,5t³-3t²+2t
v(t)=x'(t)=1,5t²-6t+2
v(6)=1,5·6²-6·6+2=54-36+2=20 м/с
)
x² = t
t³ - 6t² + 8t + 3 = 0
(t - 3)(t² - 3t - 1) = 0
t - 3 = 0 => t₁ = 3
t² - 3t - 1 = 0
D = 9 + 4 = 13
t₂ = (3 + √13)/2
t₃ = (3 - √13)/2
t₁ = x² => 3 = x²
x₁ = √3, x₂ = -√3
t₂ = x² => (3 + √13)/2 = x²
x₃ = √(3 + √13)/2
x₄ = -√(3 + √13)/2
t₃ = x² => (3 - √13)/2 = x²
√13 > 3, 3 - √13 < 0, но x² ≥ 0,
корень t₃ не подходит.
ответ: x₁ = √3 , x₂ = -√3, x₃ = √(3 + √13)/2, x₄ = -√(3 + √13)/2.