Question

Решить тригонометрическое уравнение sin3x=cosx

Answer 1

Answer 2

Sin3x = 3sinx - 4sin³x => 3sinx - 4sin³x = cos(x)

Поделим на cos(x), не равный 0, т. к. при cos(x) = 0 уравнение решений не имеет (3-4<>0):

3tg(x) - 4sin^2(x)*tg(x) = 1

sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому sin^2(x) = 1 - cos^2(x).
- 4sin^2(x) = 4cos^2(x)-4.

3tg(x)  + (4cos^2(x)-4)*tg(x) = 1
3tg(x)  + 4cos^2(x)*tg(x)-4*tg(x) = 1
Ввведем обозначение: m = tg(x).
3m  + 4cos^2(x)*m-4m = 1
4cos^2(x)*m - m = 1
4m/(1+m*m) - m - 1 = 0
(4m - (m+1)(1+m*m))/(1+m*m) = 0
4m - (m+1)(1+m*m) = 0
4m - (m + mmm + 1 + mm) = 0
(m + mmm + 1 + mm) - 4m = 0

mmm + mm - 3m + 1= 0
По теореме Безу, при m = 1 этот многочлен делится на m - 1 без остачи.

Теперь этот многочлен можно разложить на множители:
(mm+2m-1)(m-1) = 0.

Решая это уравнение методом интервалов, найдем, что:
m = 1,
m = +- sqrt(2).

Вернемся к x:
tg(x) = 1 => x = p/4 + pn,
tg(x) = -1 +- sqrt(2) => x = arctg(-1 +- sqrt(2)) + pn.

ответ: x E {p/4 + pn; arctg(-1 + sqrt(2)) + pn; arctg(-1 - sqrt(2)) + pn}.