Question

Сума кубів цифр двоцифрового числа дорівнює 243, а добуток суми його цифр на добуток цифр цього числа дорівнює 162. знайдіть це двоцифрове число.

Answer 1

Пусть xy - искомое двухзначное число. Сумма кубов цифр этого числа равна $\bigg(x^3+y^3\bigg)$, что составляет 243.

Произведение сумы его цифр на произведение цифр этого числа равен : $\bigg(x+y\bigg)\cdot xy$, что составляет 162.

Составим систему уравнений

$\displaystyle \left \{ {{x^3+y^3=243} \atop {xy\bigg(x+y\bigg)=162}} \right. ~~\Rightarrow~~ \left \{ {{\bigg(x+y\bigg)\bigg(x^2-xy+y^2\bigg)=243} \atop {\bigg(x+y\bigg)= \dfrac{162}{xy}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ }} \right. \\ \\ \\ \left \{ {{2x^2-2xy+2y^2=3xy} \atop {xy\bigg(x+y\bigg)=162~~~~~~}} \right.$

Упростим немного с первым уравнением

$2x^2-2xy+2y^2=3xy,~~~~~ 2x^2-5xy+2y^2=0\\ \\ \bigg(2x^2-4xy\bigg)-\bigg(xy-2y^2\bigg)=0\\ \\ 2x\bigg(x-2y\bigg)-y\bigg(x-2y\bigg)=0\\ \\ \bigg(x-2y\bigg)\bigg(2x-y\bigg)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в нуль

$x-2y=0$ откуда x=2y и подставим во второе уравнение вместо переменной х.

$2y\cdoy y\bigg(2y+y\bigg)=162\\ \\ 3y^3=81\\ \\ y^3=27;~~~\Rightarrow~~~ y_1=3;~~~~ x_1=6$

Аналогино $2x-y=0$ откуда $y=2x$ находим $2x\cdot x\bigg(2x+x\bigg)=162$

$3x^3=81;~~~~ x_2=3,~~~~~ y_2=6$

ответ: 63 или 36