lg(ax) = 2lg(x+1) ⇔ lg(ax) = lg(x+1)² ⇔ ax = (x+1)² ⇔ ax = x²+2x+1 ⇔ x² + (2 -a)*x +1 =0 (2) Уравнение (2) имеет решение ,если D =(2-a)² - 4 = a² - 4a =a(a - 4) ≥ 0, т.е. , если a ∈ ( -∞; 0] ∪ [4 ; +∞). [0] [4] x₁ = (a - 2 - √(a² - 4a) ) /2 , * * * x₂ +1 = (a - √D) /2 * * * x₂ = (a - 2+√(a² - 4a) ) /2) . * * * x₂ +1 = (a + √D) /2 * * * При a = 0 ⇒ ax =0 (не выполняется неравенство ax > 0 системы ОДЗ) Уравнение (1) не имеет решение . --- При a = 4 ⇒ x₁ =x₂ =1. Уравнение (1) имеет единственное решение x₁ =x₂ =1 .
a ∈ ( -∞; 0 ) ∪ ( 4 ; +∞) . * * * * * * * * * * * * * * * * * a ∈ ( -∞ ; 0 ) * * * a < 0 * * * {x₁ + x₂ = a -2 < 0 , {x₁ * x₂ = 1 . Оба корня уравнения (2) отрицательны ,следовательно ax₁ > 0 и ax₂ > 0 , но x₁ +1 = (a - √(a²-4a) ) /2 < 0 x₂ +1 = (a + √(a²-4a) ) /2 > 0 Уравнение (1) имеет единственное решение x₂=(a -2+ √(a²-4a)) /2 .
a ∈ ( 4 ; +∞ ) * * * a > 4 * * * {x₁ + x₂ = a -2 > 2 , {x₁ * x₂ = 1 . Оба корня уравнения (2) положительны Уравнение (1) имеет два решения.
ответ: a ∈ [ 0 ; 4) ⇒ нет решения , a ∈ (-∞ ; 0) ∪ {4} ⇒одно решение: x =(a -2+ √(a²-4a)) /2 , a ∈ (4 ; +∞) ⇒ два решения: x₁ = (a -2 - √(a²-4a)) /2 и x₂ = (a -2+ √(a²-4a)) /2 .
1) (a - b)² = a² - 2ab + b²
(2х - 1)² = 16
(2х)² - 2 · 2х · (-1) + (-1)² = 16
4х² + 4х + 1 - 16 = 0
4х² + 4х - 15 = 0
D = b² - 4ac = 4² - 4 · 4 · (-15) = 16 + 240 = 256
√D = √256 = 16
х₁ = (-4-16)/(2·4) = (-20)/8 = -2,5
х₂ = (-4+16)/(2·4) = 12/8 = 1,5
ответ: (-2,5; 1,5).
3) (a + b)² = a² + 2ab + b²
25 - (5х + 1)² = 0
25 - ((5х)² + 2 · 5х · 1 + 1²) = 0
25 - (25х² + 10х + 1) = 0
25 - 25х² - 10х - 1 = 0 (умножим обе части уравнения на (-1))
25х² + 10х + 1 - 25 = 0
25х² + 10х - 24 = 0
D = b² - 4ac = 10² - 4 · 25 · (-24) = 100 + 2400 = 2500
√D = √2500 = 50
х₁ = (-10-50)/(2·25) = (-60)/50 = -1,2
х₂ = (-10+50)/(2·25) = 40/50 = 0,8
ответ: (-1,2; 0,8).