Question

Найти наибольшую площадь ромба, сумма длин диагоналей которого равна 12 см (с решением)

Answer 1

Пусть диагонали ромба равны $d_1,~ d_2.$ Площадь ромба $S=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$

Для положительных $d_10,~ d_20$ применим неравенство Коши

$d_1+d_2\geq 2\sqrt{d_1d_2}\\ \\ \sqrt{d_1d_2}\leq 6\\ \\ d_1d_2\leq 36$

И это неравенство достигает максимума при $d_1=d_2=6$ см.

Наибольшая площадь: $S=\dfrac{6\cdot 6}{2}=18$ см²

По условию, $d_1+d_2=12$ откуда $d_2=12-d_1$. Рассмотрим функцию: $f(d_1)=\dfrac{d_1(12-d_1)}{2}=\dfrac{12d_1-d_1^2}{2}$

Графиком функции есть парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы достигает максимума.

$d_1=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{12/2}{2\cdot 1/2}=6$ см

Тогда $d_2=12-6=6$ см

Площадь S = 18 см²

ответ: 18 см²