Question

100 ! найдите количество целочисленных решений (x,y,z) уравнения 60^x * (500/3)^y *360^z=12960, удовлетворяющих условию |x+y+z|< 71

Answer 1

$60^x\cdot\bigg( \dfrac{500}{3}\bigg)^y\cdot 360^z=2^{2x+2y+3z}\cdot 5^{x+3y+z}\cdot3^{x-y+2z}$

$12960=2^5\cdot 5\cdot3^4$

Составим систему $\begin{cases} & \text{ } 2x+2y+3z=5 \\ & \text{ } x+3y+z=1 \\ & \text{ } x-y+2z=4 \end{cases}~~~\Rightarrow~~~~\begin{cases} & \text{ } x=-7y-2 \\ & \text{ } y=~~\forall~~ chisla \\ & \text{ } z=4y+3 \end{cases}$

Система имеет бесконечно много решений и найдем те решения которые удовлетворяют условию

$|-7y-2+y+4y+3|\ \textless \ 71\\ \\ |-2y+1|\ \textless \ 71\\ \\ -71\ \textless \ -2y+1\ \textless \ 71\\ \\ -72\ \textless \ -2y\ \textless \ 70\\ \\ -35 \ \textless \ y\ \textless \ 36$

То есть, всего 70 целочисленных решений удовлетворяющему условию