Question

50 ! решите неравенство корень кубический от (2-x) + корень квадратный от (x-1) > 1

Answer 1

ОДЗ: подкоренное выражение должно принимать неотрицательные значения, т.е. $x-1\geq 0~\Rightarrow~~ x\geq 1$

Решим уравнение $\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}=1$

Пусть $a=\sqrt{x-1}$ и $b=\sqrt[3]{2-x}$. Возводя до квадрата и куба, соответственно, получим $a^3=x-1,~~ b^3=2-x$

$b+a=1~~\Rightarrow~~~ b=1-a$

$x=a^2+1$

Подставляем в равенство $b^3=2-x$, получим уравнение

$(1-a)^3=2-a^2-1\\ (a-1)^3=a^2-1\\ (a-1)^3=(a-1)(a+1)\\ (a-1)((a-1)^2-a-1)=0\\ (a-1)(a^2-2a+1-a-1)=0\\ (a-1)(a^2-3a)=0\\ (a-1)a(a-3)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$a_1=1;\\ a_2=0;\\ a_3=3.$

Выполним обратную подстановку

$x_1=a_1^2+1=1^2+1=2\\ x_2=a_2^2+1=0^2+1=1\\ x_3=a_3^2+1=3^2+1=10$

(1)____+___(2)_____-_____(10)____+_______>

ответ: x ∈ (1;2)∪(10;+∞).