Question

Log5 (3x-11)+log5 (x-27)=3+log5 8 решите нада.

Answer 1

ОДЗ нашего уравнение:   $x27$

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество:

 $log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})$-----(1)

В нашем случае $a=5$, $N_{1}=3x-11$, $N_{2}=x-27$

Поэтому $log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[(3x-11)(x-27)]$------(2)

Правую часть нашего уравнения также преобразуем с тождества (1), предварительно представив слагаемое 3 в виде $log_{5}5^{3}=log_{5}125$:

  $log_{5}125+log_{5}8=log_{5}(125*8)$------(3)

C учетом (2) и (3) исходное уравнение примет вид:

  $log_{5}[(3x-11)(x-27)=log_{5}(125*8)$-----(4)

 Отсюда по свойству логарифма получим алгебраическое уравнение:

    $(3x-11)(x-27)=125*8=1000$, или раскрывая скобки, получим

    $3x^{2}-81x-11x+297=1000$, или приведя подобные получим квадратное уравнение относительно $x$:

        $3x^{2}-92x-703=0$

Найдем его дискриминант: $D=(92)^2-4*3*(-703)=4(23*23*4+3*703)=4*(2116+2109)=4*4225=4*(4200+25)=4*25(42*4+1)=100*169=(130)^2$ 

Поскольку дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня:

  $x_{1}=\frac{92+130}{6}=\frac{222}{6}=37$  удовлетворяет ОДЗ

  $x_{2}=\frac{92-130}{6}=-\frac{38}{6}=-\frac{19}{3}$ не удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, только один корень квадратного уравнения является корнем исходного уравнения:  $x=x_{1}=37$