Question

Sin^4x+sin^4(x+pi/4)+sin^4(x-pi/4)=9/8

Answer 1

$\sin^4x+\sin^4\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\sin^4\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{9}{8}$

Воспользуемся формулой понижения степеней.

$\left(\dfrac{1-\cos 2x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1-\cos(2x+\frac{\pi}{2})}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1-\cos(2x-\frac{\pi}{2})}{2}\right)^2=\dfrac{9}{8}\\ \\ \\ \dfrac{(1-\cos2x)^2}{4}+\dfrac{(1+\sin 2x)^2}{4}+\dfrac{(1-\sin 2x)^2}{4}=\dfrac{9}{8}\\\\ \\ 1-2\cos 2x+\cos^22x+1+2\sin 2x+\sin^22x+1-2\sin 2x+\sin^22x=\dfrac{9}{2}\\ \\ \\ \sin^22x-2\cos 2x+4=\dfrac{9}{2}\\ \\ 1-\cos^22x-2\cos 2x+4=\dfrac{9}{2}~~~~\bigg|\cdot (-2)\\ \\ 2\cos^22x+4\cos 2x-1=0$

Решая как квадратное уравнение относительно cos2x, получим

$D=4^2-4\cdot 2\cdot (-1)=16+8=24;~~~~\sqrt{D}=2\sqrt{6}$

$\cos2x=\dfrac{-4-2\sqrt{6}}{2\cdot 2}=-\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}$ - уравнение решений не имеет, т.к. косинус принимает свои значения от -1 до 1.

$\cos 2x=\dfrac{-4+2\sqrt{6}}{2\cdot 2}=\dfrac{\sqrt{6}-2}{2}\\ \\ 2x=\pm\arccos\left(\dfrac{\sqrt{6}-2}{2}\right)+2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ \\ \\ \boxed{x=\pm\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{\sqrt{6}-2}{2}\right)+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$