Question

Все свои ""! не вычисляя корней уравнения: а) найдите x1*x2^3+x2*x1^3 (x1-x первый x2-x второй) б) составить квадратное уравнение корнями которого являются числа: x1^2 и x2^2

Answer 1

$3x^2+7x-1=0\; \; \to \; \; \left \{ {{x_1\cdot x_2-\frac{1}{3}} \atop {x_1+x_2=-\frac{7}{3}}} \right. \; \; (teorema\; Vieta)\\\\(x_1+x_2)^2=\frac{49}{9}\\\\x_1^2+2x_1x_2+x_2^2= \frac{49}{9}\\\\x_1^2+x_2^2=\frac{49}{9}-2x_1x_2=\frac{49}{9}-2\cdot (-\frac{1}{3})=\frac{49}{9}+\frac{2}{3}=\frac{55}{9}\\\\a)\; \; \; x_1x_2^3+x_2x_1^3=x_1x_2\cdot (x_1^2+x_2^2)=-\frac{1}{3}\cdot \frac{55}{9}=-\frac{55}{27}\\\\b)\; \; y_1=x_1^2\; ,\; \; y_2=x_2^2\\\\y_1\cdot y_2=x_1^2\cdot x_2^2=(x_1x_2)^2=(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}\\\\y_1+y_2=x_1^2+x_2^2=\frac{55}{9}\; \; \; \to$

$po\; teoreme\; Vieta:\; \; y^2- \frac{55}{9}\cdot y+\frac{1}{9}=0\; ,\\\\\underline {9y^2-55y+1=0} \; \; \to \; \; \; y_1\cdot y_2=\frac{1}{9}\; ,\; \; y_1+y_2=\frac{55}{9}$