Question

Дан равностороний треугольник со стороной 8 см из его высот построен второй треугольник а из высот второго третий и.т.д докажите что периметры треугольников образуют прогрессию и найдите периметр шестого тнреугольника

Answer 1

Высота равностороннего тр-ка рассчитывается по формуле $h=\frac{\sqrt3}2a$, где a - сторона тр-ка. Периметр первого тр-ка 3a, периметр второго тр-ка $3a\cdot\frac{\sqrt3}2$, периметр третьего $3a\cdot\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\sqrt3}2=3a\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2$.

Получеатся, что периметр каждого последующего тр-ка равен периметру предыдущего, умноженному на постоянный множитель $\frac{\sqrt3}2$. Относительно периметров имеем геометрическуй прогрессию с первым членом $b_1=24$ и знаменателем $q=\frac{\sqrt3}2$.

Периметр шестрого тр-ка - это шестой член данной прогрессии, т.е.

$\\b_6=b_1\cdot q^5=24\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^5=24\cdot\frac{9\sqrt3}{32}=\frac{27\sqrt3}4$