Объяснение:
пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = x2(2x-4)+2x(x-2)2
или
y' = 4x(x-2)*(x-1)
Приравниваем ее к нулю:
4x(x-2)*(x-1) = 0
x1 = 0
x2 = 1
x3 = 2
Вычисляем значения функции
f(0) = 0
f(1) = 1
f(2) = 0
fmin = 0, fmax = 1
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 2x2+4x(2x-4)+2(x-2)2
или
y'' = 12x2-24x+8
Вычисляем:
y''(0) = 8>0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.
y''(1) = -4<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.
y''(2) = 8>0 - значит точка x = 2 точка минимума функции.
2.1.
(2x - 1)/4 - (x + 3)/8 < -4| · 8,
5x - 3 > 7x + 21;
2(2x - 1) - (x + 3) < -32,
5x - 7x > 3 + 21;
4x - 2 - x - 3 < -32,
-2x > 24;
3x < -32 + 5,
x < -12;
3x < -27,
x < -12;
x < -9,
x < -12;
x < -12.
Відповідь: (-∞; -12).
2.2.
Щоб знайти координати точок перетину кола і прямої, розв'яжемо систему рівнянь:
x² + y² = 10,
y = x - 2;
x² + (x - 2)² = 10;
x² + x² + 4 - 4x = 10;
2x² - 4x + 4 - 10 = 0;
2x² - 4x - 6 = 0| : 2;
x² - 2x - 3 = 0;
x₁ = 3; x₂ = -1
Якщо x₁ = 3; x₂ = -1, то y₁ = 3 - 2 = 1; y₂ = -1 - 2 = -3.
Отже, (3; 1) і (-1; -3) точки перетину кола і прямої.
Відповідь: (3; 1), (-1; -3).
