Question

Найдите сумму квадратов действительных корней уравнения x4 + 100x3 + 93x2 – 100x + 1 = 0

Answer 1

Такое уравнение называется возвратным. Оно может быть решено  сведением к однородному уравнению.  Итак, начинаем: 

$(x^2-1)^2+100x(x^2-1)+95x^2=0.$

Для облегчения понимания можно уравнение поделить на $x^2,$, естественно, убедившись перед этим, что $x\not= 0,$ и сделав замену $x-\frac{1}{x}=t.$ Получившееся квадратное уравнение имеет два действительных, но противных корня, которые даже лень выписывать. Обозначим эти корни через p и q, $p\not= q.$ для поиска x получаем два уравнения $x^2-px-1=0;\ x^2-qx-1;$
корни которых очевидно действительны и различны. Мы сделали самое сложное - доказали, что все корни нашего уравнения действительны (и, кстати, различны - это я говорю на тот случай, если кто-то не привык кратные корни подсчитывать, учитывая их кратность). Теперь, не вычисляя эти гадкие корни, воспользуемся теоремой Виета для многочлена 4-й степени, которая утверждает, что корни этого многочлена удовлетворяют следующим условиям (я буду их выписывать в упрощенном виде, используя то, что у нас старший коэффициент равен 1):

  для многочлена $x^4+bx^3+cx^2+dx+e$

$x_1+x_2+x_3+x_4=-b;$

$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=c;$

$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-d;$

$x_1x_2x_3x_4=e.$

Нам потребуются первые два равенства; остальные я написал для коллекции. Имеем:

$\scriptstyle (x_1+x_2+x_3+x_4)^2=(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)+ 2(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4);$

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2= (-b)^2-2c.$

В нашем случае b=100; c=93, поэтому

$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=10000-186=9814$

ответ: 9814