1) Верное суждение. Знак ⊂ (подмножество) используется для указания того, что все элементы первого множества также являются элементами второго множества. В данном случае, множество {2,8} содержит элемент 8, поэтому 8 является элементом множества {2,8}.
2) Верное суждение. Множество {∅} (содержащее пустое множество) является подмножеством множества {2,8}, так как пустое множество является подмножеством любого множества.
3) Верное суждение. Множество {2} является подмножеством множества {2,8}, так как все элементы множества {2} также присутствуют в множестве {2,8}.
4) Верное суждение. Пустое множество (∅) является подмножеством любого множества, включая {2,8}.
5) Ложное суждение. Пересечение множеств {1,5} и {5} дает множество {5}, а не множество {1}. Таким образом, {1,5} ∩ {5} = {5}, а не {1}.
6) Ложное суждение. Пересечение множеств {1,5} и {5} дает множество {5}, а не множество {1}. Таким образом, {1,5} ∩ {5} = {5}, а не {1}.
7) Верное суждение. Пересечение множества {1,5} и пустого множества (∅) не содержит никаких элементов, поэтому равно пустому множеству (∅).
8) Верное суждение. Объединение множества {1,5} с пустым множеством (∅) дает множество {1,5}, так как пустое множество ничего не меняет в другом множестве.
9) Верное суждение. Пересечение множества {1,5} и пустого множества (∅) не содержит никаких элементов, поэтому равно пустому множеству (∅).
10) Ложное суждение. Разность множества {1,5} и множества {1} дает множество {5}, так как элемент 1 удаляется из множества {1,5}.
Добрый день! Отлично, давайте решим эти задачи по порядку.
1) Дано: cos²2x = 2
Перепишем это уравнение с использованием тригонометрической идентичности: cos²2x = cos²(2x)
Теперь применим идентичность cos²(θ) = (1 + cos(2θ))/2:
(1 + cos(4x))/2 = 2
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
1 + cos(4x) = 4
Вычтем 1 из обеих частей:
cos(4x) = 3
На данном этапе у нас есть проблема, потому что косинус не может быть больше 1 или меньше -1.
Таким образом, у данного уравнения нет решений.
2) Дано: 1 - sin²x = 0
Решим это уравнение, используя тригонометрическую идентичность для синуса:
cos²x = 0
Заметим, что уравнение сводится к следующей идентичности: sin²θ + cos²θ = 1.
Таким образом, у нас есть только одно решение:
cos²x = 0
cosx = 0
Для этого значения x = π/2 (или 90 градусов).
3) Дано: 2cos²x - 5cosx - 3 = 0
Решим это квадратное уравнение. Для начала, заметим, что можно заменить cosx на переменную y, чтобы упростить запись.
Таким образом, наше уравнение будет выглядеть так:
2y² - 5y - 3 = 0
Мы можем проанализировать это уравнение, чтобы увидеть, что оно не факторизуется.
Таким образом, воспользуемся дискриминантом (D) для нахождения решений.
D = (коэффициент при y)² - 4 * (коэффициент при y²) * (свободный член)
D = (-5)² - 4 * 2 * (-3)
D = 25 + 24
D = 49
Поскольку D > 0, у нас есть два реальных корня. Применяем формулу дискриминанта:
y = (-b ± √D) / (2a)
y = (-(-5) ± √49) / (2 * 2)
y = (5 ± 7) / 4
y₁ = (5 + 7) / 4 = 3
y₂ = (5 - 7) / 4 = -1/2
Таким образом, у нас два значения для y, которые соответствуют значениям cosx.
Уравнение 2cos²x - 5cosx - 3 = 0 имеет следующие решения:
cosx = 3
cosx = -1/2
4) Дано: 3sin²x + 7cosx - 3 = 0
Заметим, что это квадратное уравнение с двумя разными функциями sinx и cosx.
Мы не можем проанализировать это уравнение напрямую, поэтому воспользуемся тригонометрической идентичностью: sin²x + cos²x = 1.
Воспользуемся идентичностью: sin²x = 1 - cos²x.
Подставим данное значение в исходное уравнение:
3(1 - cos²x) + 7cosx - 3 = 0
Раскроем скобки:
3 - 3cos²x + 7cosx - 3 = 0
-3cos²x + 7cosx = 0
-3cosx (cosx - 7/3) = 0
Это уравнение имеет два решения:
cosx = 0
cosx = 7/3
5) Дано: 2tg²3x - 3tg3x + 1 = 0
Мы не можем решить это уравнение, используя обычные методы, поэтому воспользуемся тригонометрическими идентичностями для тангенса.
Перепишем уравнение, используя следующую идентичность: tg²θ + 1 = sec²θ.
2(sec²3x - 1) - 3(sec3x / cos3x) + 1 = 0
2sec²3x - 2 - 3sec3x / cos3x + 1 = 0
2sec²3x - 3sec3x / cos3x - 1 = 0
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sec3x. Давайте заменим sec3x на новую переменную y:
2y² - 3y / cos3x - 1 = 0
С этим уравнением мы не сможем продолжить дальше.
6) Дано: (1 - cos2x)(ctg(-2x) + sqrt(3)) = 0
У нас есть произведение двух выражений, равное нулю. В этом случае, мы должны поставить каждый множитель равным нулю и решить получающиеся уравнения:
1 - cos2x = 0
cos2x = 1
Решение этого уравнения очевидно: x = 0.
Теперь решим второе уравнение:
ctg(-2x) + sqrt(3) = 0
Касательному котангенсу действительно не существует, поскольку tg(θ) = sin(θ) / cos(θ) и ctg(θ) = cos(θ) / sin(θ).
Поскольку sin(-θ) = -sin(θ) и cos(-θ) = cos(θ), можем переписать это уравнение:
1 / (tan(-2x)) + sqrt(3) = 0
Для нахождения тангенса угла с отрицательным аргументом, воспользуемся следующей идентичностью:
tan(-θ) = -tan(θ)
Используя эту идентичность, перепишем уравнение:
-1 / tan(2x) + sqrt(3) = 0
-1 / (sin(2x) / cos(2x)) + sqrt(3) = 0
-1 * (cos(2x) / sin(2x)) + sqrt(3) = 0
- cos(2x) / sin(2x) + sqrt(3) = 0
cos(2x) / sin(2x) = sqrt(3)
cos(2x) = sqrt(3) * sin(2x)
Теперь применим тригонометрическую идентичность, чтобы выразить cos(2x) через sin(2x):
cos(2x) = sqrt(3) * sqrt(1 - cos²(2x))
cos(2x) = sqrt(3) * sqrt(1 - (sqrt(3) * sin(2x))²)
Мы получили уравнение с одной неизвестной sin(2x), решим его:
cos(2x) = sqrt(3) * sqrt(1 - 3sin²(2x))
cos²(2x) = 3(1 - 3sin²(2x))
cos²(2x) = 3 - 9sin²(2x)
4cos²(2x) = 12 - 36sin²(2x)
4(1 - sin²(2x)) = 12 - 36sin²(2x)
4 - 4sin²(2x) = 12 - 36sin²(2x)
32sin²(2x) = 8
sin²(2x) = 8/32
sin²(2x) = 1/4
sin(2x) = ± 1/2
Вспоминая идентичность sin(θ) = ±sqrt(1 - cos²(θ)), подставим значения:
sin(2x) = ±sqrt(1 - cos²(2x))
1/2 = ±sqrt(1 - cos²(2x)) или -1/2 = ±sqrt(1 - cos²(2x))
Дальше решаем каждое уравнение отдельно.
Надеюсь, это ответ полностью удовлетворяет вашей просьбе и обеспечивает понятность решений для школьника. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.
Sin² 30° + Cos² 30° = 1