Окончательная сумма вклада зависит от условий договора.
1) Без капитализации процентов. 9% начисляются только на первоначальную сумму. 9% = 0,09
Тогда доход за 4 года составит
4 · 8000 · 0.09 = 2880 р
Сумма вклада через 4 года будет 8000 + 2880 = 10880 р
2) С капитализацией процентов. 9% начисляются на всю сумму с начисленными за предыдущие годы процентами. За один год сумма вклада в процентах составляет 100% + 9% = 109% = 1,09. Тогда сумма вклада через 4 года вычисляется по формуле сложных процентов
D = (1,09)⁴· 8000 = 1,41158161 · 8000 = 11292,65288 р ≈ 11292,65 р
1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1)= n(n+1)^2
Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть
1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1) + (n + 1) (3n + 4) = (n + 1)(n + 2)^2
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)
1*4+2*7+3*10+...+ n(3n+1) + (n + 1) (3n + 4) = n(n+1)^2 + (n + 1) (3n + 4)
получим
n(n+1)^2 + (n + 1) (3n + 4) = (n + 1) (n (n + 1) + 3n + 4) =
= (n + 1)(n^2 + n + 3n + 4) = (n + 1) (n^2 + 4n + 4) =
= (n+ 1)(n + 2)^2
то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.