Объяснение: * * * cos(-α) =cosα , sin2α=2sinα*cosα и формулы
приведения * * *
1) ( 1 +sin(4π -(π/2 +α) )+ cos(2π-2α) ) / (2sinα*cosα - sinα) =
( 1 - cosα+ cos2α ) / (2sinα*cosα - sinα) =(2cos²α -cosα) / (2cosα -1)sinα=
(2cosα -1)cosα / (2cosα -1)sinα = ctgα .
2) ( sin²α - 4sin²(α/2) ) / ( sin²α - 4+4sin²(α/2) ) =
( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4sin²(α/2) ) / ( 4sin²(α/2) cos²(α/2) - 4(1 -sin²(α/2) ) =
- 4sin²(α/2) (1 - cos²(α/2) ) / - 4cos²(α/2)( 1 -sin²(α/2) ) =
sin⁴(α/2) / cos⁴(α/2)= tg⁴(α/2) .
3) (cos²α -sin²α ) / (1+sin2α) =
|| * * * 1+sin2α= cos²α+sin²α+2sinαcosα =(cosα+sinα)² * * * ||
= (cosα -sinα )(cosα+sinα) /(cosα+sinα)²= (cosα -sinα)/(cosα+sinα)
4) ( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) ) =
|| sinα -sinβ =2sin( (α -β)/2 ) *cos( (α +β)/2 ) ||
|| sinα+sinβ =2sin( (α+β)/2 ) *cos( (α -β)/2 ) ||
= 2 sinβcosα / 2 sinαcosβ =(cosα / sinα) *(sinβ/cosβ) = ctgα *tgβ =
ctgα / ctg β.
* * * * * * * по другому * * * * * * *
( sin(α+β) - sin(α -β) ) / ( sin(α+β) +sin(α -β) ) =
( sinαcosβ+cosα*sinβ - (sinαcosβ-cosα*sinβ) ) *
1/ ( sinαcosβ+cosα*sinβ+ sinαcosβ-cosα*sinβ ) =
2cosα*sinβ /2 sinαcosβ =ctgα /ctgβ
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
5) ( (1+cosx)/sinx )*(1+ ( (1 -cosx)/sinx )² ) =
( (1+cosx)/sinx )*(sin²x +1 -2cosx+cos²x )/sin²x ) =
( (1+cosx)/sinx )*( 2(1 -cosx))/sin²x ) = 2(1+cosx)(1-cosx) /sin³x =
2(1 - cos²x) /sin³x =2sin²x/ sin³x = 2 / sinx .
* * * * * * * по другому * * * * * * *
= ( 2cos²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2) )*(1+ ( 2sin²(x/2) / 2sin(x/2)*cos(x/2) )² ) =
(cos(x/2) / sin(x/2) )*( 1 + sin²(x/2) / cos²(x/2) ) =
(cos(x/2) /sin(x/2) )*( ( cos²(x/2) + sin²(x/2) ) /cos²(x/2) ) =
(cos(x/2) /sin(x/2) )* ( 1 / cos²(x/2) ) = 1 /( cos(x/2)*sin(x/2) ) =2/sinx
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
1. У арифметической прогрессии первый член равен 6, второй 2. Найдите разность.
а₂=а₁+d. где d- разность прогрессии
2=6+d; d=2-6=-4
2. У арифметической прогрессии первый член равен 4, второй член 6. Найдите третий член.
a₂=a₁+d;
aₙ=a₁+d(n-1)
6=4+d; d=6-4=2
a₃=a₁+d*(3-1)=4+2(2)=8
3. У геометрической прогрессии первый член равен 9, второй член 3. Найдите знаменатель.
b₂=b₁*q
3=9*q; q=3/9=1/3
4. У геометрической прогрессии первый член равен 8, второй член 4. Найдите третий член.
b₂=b₁*q; 4=8*q; q=4/8=1/2
b₃=4*1/2=2
5. Найдите восьмой член арифметической прогрессии, если первый ее член равен 1, а разность 5.
aₙ=a₁+b(n-1)
a₈=1+5(8-1)=1+5*7=36
6. Найдите шестой член геометрической прогрессии , если ее первый член равен 1, а знаменатель -2.
bₙ=b₁*q⁽ⁿ⁻¹⁾
b₆=1*(-2)⁽⁶⁻¹⁾=1*(-2)⁵= -32
7. Является ли последовательность нечетных чисел арифметической прогрессией? Почему?
Запишем последовательность нечерных чисел:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... (2n-1)
Разность прогрессии b=3-1=5-3=7-5=2
Да. последовательность нечетных чисел является Арифметической прогрессией
8. Является ли последовательность простых чисел геометрической прогрессией? Почему?
Запишем последовательность простых чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61...
найдем знаменатель:
q=3/2= 1.5; q=5/3=1.(6); q=7/5=1.4
Нет, последовательность простых чисел не является Геометрической прогрессией.
9. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если первый ее член равен 6, а разность -3.
Sₙ=(a₁+aₙ)*n /2
a₅=6+(-3)*(5-1)=6-3*4= -6
S₅=(6-6)*5/2=0.
10. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если первый ее член равен -1, а знаменатель 2
Sₙ=(b₁*(1-qⁿ))/(1-q)
S₅=(-1*(1-2⁵))/(1-2)=(-1*(-31))/(-1)= -31
Это иррациональная дробь.