Question

Вдевяти клетках квадратной таблицы 3×3 записаны различные натуральные числа. перемножив все три числа в каждой строке и все три числа в каждом столбце, получили шесть равных произведений. найдите наименьшую возможную сумму всех девяти чисел, если в угловых клетках записаны числа 2, 5, 7 и 11.

Answer 1

 Рассмотрим для начало произвольный вид таблицы 3x3, пусть  
 $\begin{Bmatrix} x& a& y\\ b& c& d \\ n& e & m \end{Bmatrix}$ то есть $x,y,n,m$  это крайние числа, по условию  
$xay = bcd = nem = xbn = ace = ydm$ 
 откуда $a,b,c,d,e$ соответственно равны 
 $a, \frac{ay}{n}, \frac{nm}{a}, \frac{ax}{m}, \ \frac{axy}{mn}$ 
  откуда число $a=mn$  как минимально возможное, значит  
 $S=a+b+c+d+e+2+5+7+11 = a+b+c+d+e+25 = \\ S= mn+ ym+ 1 + nx + xy = (m+x)(n+y)+1$
то есть надо выбрать из $2,5,7,11$ чтобы $(m+x)(n+y)$  было минимальным $S=(2+5)(7+11)+26 = 152$  
 ответ $152$