Question

Решите уравнение: sqrt(x-6)+sqrt(x-1)+2*sqrt(x^2+5x-6)= 51-2x

Answer 1

$\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2*\sqrt{x^2+5x-6}= 51-2x\\\\ \sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2*\sqrt{(x+6)(x-1)}= 51+6-1-x-6-x+1\\\\ \sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2*\sqrt{x+6}*\sqrt{x-1}= 56-(x+6)-(x-1)\\\\$

$0 \leq T=\sqrt{x+6}\ \ \ \ 0 \leq U=\sqrt{x-1}\\\\ T+U+2*T*U= 56-T^2-U^2\\\\ T^2+2*T*U+U^2+T+U=56\\\\ (T+U)^2+T+U=56\\\\ 0\ \textless \ W=T+U\\\\ W^2+W-56=0\\\\ W=-8\ \ or\ \ W=+7\\\\ ----------------------------\\ T+U=7\\\\\\ \left \{ {{T+U=7} \atop {T^2-U^2=7}} \right. ; \left \{ {{T+U=7} \atop {(T+U)(T-U)=7}} \right.; \left \{ {{T+U=7} \atop {T-U=1}} \right. \\\\$

$\sqrt{x+6}-\sqrt{x-1}=1\\\\ \sqrt{x+6}=1+\sqrt{x-1}\\\\ \left \{ {{x+6=(1+\sqrt{x-1})^2} \atop {1+\sqrt{x-1} \geq 0}} \right. \\\\ x+6=1+2\sqrt{x-1}+x-1}\\\\ 3=\sqrt{x-1}\\\\ \left \{ {{x-1=3^2} \atop {3 \geq 0}} \right. \\\\ x=3^2+1\\\\ x=10$

Answer 2

$\mathtt{\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2\sqrt{x^2+5x-6}=51-2x=}\\\mathtt{51-x-x-6+6-1+1=51-(x+6)+6-(x-1)-1}$

найдём корни находящегося под корнем квадратного трёхчлена, чтобы разложить его на множители; по теореме, обратной теореме Виета, находим корни уравнения $\mathtt{x^2+5x-6=0}$: $\mathtt{x_1=-6}$, $\mathtt{x_2=1}$

итак, исходное уравнение: 
$\mathtt{\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}+2\sqrt{x+6}\sqrt{x-1}=56-(x+6)-(x-1)}$

прибегнем к замене $\displaystyle\mathtt{\left\{{{\sqrt{x+6}=a,~a\geq0}\atop{\sqrt{x-1}=b,~b\geq0}}\right}$, тогда $\mathtt{a+b+2ab=56-a^2-b^2}$

перенесём всё влево и сгруппируем: 
$\mathtt{a^2+2ab+b^2+a+b-56=0;~(a+b)^2+(a+b)-56=0}$

прибегнем к замене $\mathtt{a+b=t,~t\geq0}$ (ведь выражения $\mathtt{a}$ и $\mathtt{b}$ неотрицательны) и по теореме, обратной теореме Виета, найдём корни уравнения $\mathtt{t^2+t-56=0}$: $\mathtt{t_1=-8}$ (не удовлетворяет ограничениям, приведённым выше), $\mathtt{t_2=7}$

обратная замена: $\mathtt{a+b=\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1}=7}$; решим уравнение, возведя обе части в квадрат (делать это можно постольку, поскольку обе части уравнения неотрицательны): 

$\mathtt{(\sqrt{x+6}+\sqrt{x-1})^2=7^2;~x+6+2\sqrt{x^2+5x-6}+x-1=49;~}\\\mathtt{\left\{{{(\sqrt{x^2+5x-6})^2=(22-x)^2}\atop{22-x\geq0}}\right\left\{{{x^2+5x-6=x^2-44x+484}\atop{x\leq22}}\right\left\{{{5x+44x=484+6}\atop{x\leq22}}\right\left\{{{49x=490}\atop{x\leq22}}\right\left\{{{x=10}\atop{x\leq22}}\right}$

ОТВЕТ: $\mathtt{x=10}$