Question

Объясните обратную функцию, какой алгоритм? как я понял: вытаскиваем "x", "y" же становится как обычная переменная для выражения и дальше решаем, в конце просто меняем местами "x" и "y". как решить: 1) y = (x - 1)/(2 - 3x); 2) y = 2x^2 - 1/2; (x> =0); 3) как выбрать d(f), чтобы существовала функция, обратная к функции f(x) = x^2 - 2x + 3 4) как выбрать d(f), чтобы существовала функция, обратная к функции f(x) = | x - 3 |

Answer 1

Для того, чтобы найти обратную функцию к функции $y=f(x)$, требуется выразить x через y. В самом конце меняем местами x и y и получаем искомую функцию.

$1) \, y= \cfrac{x-1}{2-3x} \\\\ y(2-3x)=x-1;\\\\ 2y-3xy=x-1;\\\\ x ( 1+3y)=2y+1;\\\\ x = \cfrac{2y+1}{1+3y}$

Далее меняем местами х и у и получаем готовую обратную функцию.
$y = \cfrac{2x+1}{3x+1}$

$2) \, y=2x^2 - \cfrac{1}{2}\,; \, (x \geq 0)\\\\ 2x^2=y+\cfrac{1}{2}\,;\\\\ x^2 = \cfrac{y}{2} + \cfrac{1}{4}\,;\\\\ x = \sqrt{\cfrac{y}{2}+\cfrac{1}{4}}$
Здесь, когда берём корень, оставляем только положительную часть, так как по условию x >= 0.
Получим: $y= \cfrac{1}{2} \, \sqrt{2x+1}$

3) D(f) - область определения функции. Исходя из свойств обратной функции, область определения обратной функции равна области значений исходной функции. Область значений исходной функции можно найти, вычислив вершину параболы.
$x_B = \cfrac{-(-2)}{2\cdot1}=1, \,\,\, y_B = y(x_B)=y(1)=1^2-2\cdot1+3=2$
Таким образом, область определения обратной функции должна принадлежать следующему интервалу: $[2; +\infty)$.
4) Для того, чтобы существовала функция, обратная к функции $y=|x-3|$, нужно, чтобы она была строго монотонна на всей её области определения. В данном случае у исходной функции есть два участка монотонности: монотонное убывание при $x\leq3$ и монотонное возрастание при $x\geq3$.
Следовательно, D(f) может быть либо $(-\infty, 3]$, либо $[3, +\infty)$.