Question

Решите ! исследуйте функцию y=2x^3 - 3x^2 на монотонность и экстремумы. постройте график этой функции.

Answer 1

 $y(x)=2x^3-3x^2$

$D(y):=(-\infty;+\infty)$

ищем критические точки:
$y'=(2x^3-3x^2)'=6x^2-6x=6x(x-1)=0\\\\ 6x^2-6x=0\\\\ x^2-x=0\\\\ x(x-1)=0\\\\ x=0\ \ or\ \ x=1$

смотрим, как ведет себя производная функции при переходе через эти точки:
$+++++++[0]---------[1]+++++++\ \textgreater \ x$

производная в точке 0 меняет знак с + на - , что означает, что точка $0$ являеться максимумом функции $y(x)$,

производная в точке 1 меняет знак с - на + , что означает, что точка $1$ являеться минимумом функции $y(x)$

----------------
тогда промежутки монотонности:
ф-ия $y(x)$ монотонно растет на промежутке $(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$

ф-ия $y(x)$ монотонно убывает на промежутке $(0;1)$
----------------
ф-ия $y(x)$ пересекает ось ОХ в точкаx $(0;\ 0),\ (1.5;\ 0)$
$2x^3-3x^2=0\\\\ 2*x^2*(x-1.5)=0\\\\ x=0\ \ or\ \ x=1.5$

ф-ия $y(x)$ пересекает ось ОУ в точке $(0;\ 0)$

на основании этих данных и строиться схематический график