Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, 
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что 
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
Пусть мы должны размешать M фотографий на N мест. В нашем случае M≤N. Первую фотографию на любое место из N мест, то есть возможность N. После размещения первую фотографию вторую фотографию можем размещать на оставшийся (N–1) мест, то есть возможность (N–1). Тогда размещения равен N·(N–1).
После размещения вторую фотографию третью фотографию можем размещать на оставшийся (N–2) мест, то есть возможность (N–2). Тогда размещения равен N·(N–1)·(N–2). И так далее.
В итоге получаем, что размещения M фотографий на N мест равен N·(N–1)·(N–2)·...·(N–M+1).
В нашей задаче свободных мест 6, то есть N = 6.
При
При
При