Question

Сумма корней уравнения ctg4x+tg7x=0 на отрезке [0; 2π] равна

Answer 1

Используем формулу $tg \alpha -tg \beta = \dfrac{sin( \alpha - \beta )}{cos \alpha cos \beta }$
О.Д.З.: sin 4x ≠ 0 и cos 7x ≠ 0,
т.е. $x \neq \frac{ \pi k}{4} , u\ x \neq \frac{ \pi }{14}+ \frac{ \pi k}{7} , k,n \in Z$
$tg 7x - tg( \frac{ \pi }{2}+4x) = 0$
$\dfrac{sin(7x- \frac{ \pi }{2}-4x)}{cos7xcos(\frac{ \pi }{2}+4x)}=0$
$sin(3x- \frac{ \pi }{2})=0$
cos 3x = 0
$3x= \frac{ \pi }{2} + \pi m$
$x= \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi m }{3}$
Отберем корни на отрезке [0; 2π]:
$0 \leq \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi m }{3} \leq 2 \pi \\ 0 \leq \frac{ 1 }{6} + \frac{ m }{3} \leq 2 \\ -1 \leq 2m \leq 11\\ =\ \textgreater \ m=0;1;2;3;4;5\\ =\ \textgreater \ x= \frac{ \pi }{6} ; \frac{ \pi }{2} ; \frac{7 \pi }{6} ; \frac{ 3\pi }{2} ; \frac{11 \pi }{6}$
Числа $\frac{ \pi }{2} ; \frac{3\pi }{2}$ не удовл. О.Д.З.
Итак, сумма корней на [0; 2π]: $\frac{ \pi }{6} + \frac{ 7\pi }{6} + \frac{11 \pi }{6} = \frac{19 \pi }{6}$
ответ: $\frac{19 \pi }{6}$