Question

Исследуйте функцию f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 12 и постройте её график. найдите количество корней f(x) = a для каждого действительно значения параметра а.

Answer 1

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел.

2. Функция не периодическая.

3. Проверим на четность или нечетность функции:

$f(-x)=3(-x)^4+4(-x)^3-12(-x)^2+12=-(-3x^4+4x^3+12x^2-12)\ne-f(x)$

Функция является ни четной ни нечетной.

4. Точки пересечения с осями координат:

4.1. Точки пересечения с осью абсцисс(y=0).

$3x^4+4x^3-12x^2+12=0$ - если сможете решить такое уравнение - вперёд! :) (на графику покажу приближенные значения)

4.2. Точки пересечения с осью ординат(x=0):

Раз х=0, то $y=12$

5. Точки экстремума, возрастание и убывает функции.

$f'(x)=(3x^4+4x^3-12x^2+12)'=12x^3+12x^2-24x$

Приравниваем теперь производную функции к нулю, имеем:

$12x(x^2+x-2)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x_1=0$

$x_2=-2\\ x_3=1$

____-___(-2)___+__(0)__-____(1)___+___

Функция возрастает на промежутке $x\in (-2;0)$ и $x\in(1;+\infty)$, а убывает - $x \in (-\infty;-2)$ и $x \in (0;1)$. Производная функции в точке х=-2 и х=1 меняет знак с (-) на (+), значит точка х=-2 и х=1 являются точками локального минимума. А в точке х=0 производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно, точка х = 0 - локальный максимум.

6. Точки перегиба

$f''(x)=(12x^3+12x^2-24x)'=36x^2+24x-24\\ f''(x)=0;~~~ 36x^2+24x-24=0~~|:12\\ 3x^2+2x-2=0\\ D=28\\ \\ x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{7}}{2}$

На промежутке $x \in \bigg(-\infty;\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2} \bigg)$ и $x \in \bigg(\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2} ;+\infty\bigg)$ функция выпукла вниз, а на промежутке $x \in \bigg(\dfrac{-1-\sqrt{7}}{2} ;\dfrac{-1+\sqrt{7}}{2} \bigg)$ - выпукла вверх.

Вертикальных, горизонтальных и наклонных асимптот нет.

Теперь найдем количество корней f(x)=a для каждого действительно значения параметра а.

f(x)=a - прямая, параллельная оси абсцисс.

При $a=-20$ уравнение будет иметь один корень.

При $a \in (-20;7)\cup(12;+\infty)$ уравнение имеет два корня.

При $a =7,~ a=12$ уравнения имеет три корня

При $a\in(7;12)$ уравнение имеет четыре корня.