Question

Найдите все числа а при каждом из которых уравнение 5sinx+2cosx=a имеет решение.

Answer 1

Пользуясь формулой содержащего дополнительного угла, имеем

$\sqrt{5^2+2^2}\sin(x+\arcsin \frac{2}{\sqrt{5^2+2^2}} )=a\\ \\ \sin(x+\arcsin \frac{2}{ \sqrt{29} } )= \frac{a}{ \sqrt{29}}$

Уравнение имеет решение, если $-1 \leq \frac{a}{ \sqrt{29}} \leq 1$ откуда $a \in [-\sqrt{29};\sqrt{29}]$, а при $a \in (-\infty;-\sqrt{29})\cup(\sqrt{29};+\infty)$ очевидно, что решений уравнение не имеет