Question

Решите уравнения и неравенства с модулем: 1) |3x-2|+x=11 2)|x-2|+|x-1|=x-8 3)|3-7x|=-2 4)|3x-8|+|2-4x|+|x-5|=7

Answer 1

T| = t, если t >=0, и -t, если t <= 0.

1) |x - 3| + 2|x + 1| = 4
* Если x < -1, то x - 3 < -4, |x - 3| + 2|x + 1| > 4, на этом промежутке корней нет.
* Если x > 3, то x + 1 > 4, |x - 3| + 2|x + 1| > 2 * 4 > 4, на этом промежутка корней тоже нет.
* Если -1 <= x <= 3, то x - 3 <= 0, x + 1 >= 0, и можно раскрыть модули:
-(x - 3) + 2(x + 1) = 4
-x + 3 + 2x + 2 = 4
x + 5 = 4
x = -1 - корень попадает в отрезок [-1, 3], подходит.
ответ. x = -1.

2) |5 - 2x| + |x + 3| = 2 - 3x
В левой части стоит сумма модулей - величина неотрицательная, значит то, что стоит в правой части, тоже неотрицательно; 2 - 3x >= 0, x <= 2/3. При таких ограничениях 5 - 2x >= 5 - 2 * 2/3 > 0, можно один модуль убрать:
5 - 2x + |x + 3| = 2 - 3x
|x + 3| = -3 - x
|x + 3| = -(x + 3)
Это выполнено, если x + 3 <= 0, x <= -3.
ответ. x <= -3.

3) |5 - x| + |x + 1| = 10
Заметим, что если x - корень уравнения, то и 4 - x - тоже корень.
Тогда все корни симметричны относительно x = 2. Будем решать при x >= 2, а всё остальное найдём из симметрии.
* 2 <= x <= 5: 5 - x >= 0, x + 1 >= 0.
5 - x + x + 1 = 10
6 = 10 - корней нет
 * x > 5: 5 - x < 0, x + 1 > 0
x - 5 + x + 1 = 10
2x - 4 = 10
2x = 14
x = 7 - попадает в нужный промежуток, корень.
Второй корень, симметричный относительно 2: x = 4 - 7 = -3.
ответ: -3, 7.

4) |4 - x| + |x - 2| = 2
Неравенство треугольника: |a| + |b| >= |a + b|, равенство достигается, если a, b одного знака, иначе говоря, если ab >= 0.
|4 - x| + |x - 2| >= |4 - x + x - 2| = 2
(4 - x)(x - 2) >= 0
2 <= x <= 4 - ответ

5) |x - 2| - |5 + x| = 3
* x < -5: x - 2 < 0, 5 + x < 0
2 - x + x + 5 = 3
8 = 3 - неверно, корней нет
* x > 2: x - 2 > 0, x + 5 > 0
x - 2 - x - 5 = 3
-7 = 3 - неверно. корней нет
 * -5 <= x <= 2: x - 2 <= 0, x + 5 >= 0
2 - x - x - 5 = 3
-3 - 2x = 3
2x = -6
x = -3 - попадает в промежуток, подходит.
ответ. -3.

6) |-x + 2| = 2x + 1
-x + 2 = 2x + 1 или x - 2 = 2x + 1
3x = 1 или x = -3
x = 1/3 или x = -3.
Проверка:
x = 1/3: |-1/3 + 2| = 2/3 + 1, 1 2/3 = 1 2/3, верно.
x = -3: |...| = 2 * (-3) + 1 = -5 < 0, так не бывает.
ответ. 1/3

7) |x^2 - 1| = 5 - x
Левая часть неотрицательна, поэтому и правая тоже неотрицательна, 5 - x >= 0, x <= 5. При таких x обе части уравнения неотрицательны, и можно возвести в квадрат:
|x^2 - 1|^2 = (5 - x)^2
(x^2 - 1)^2 - (5 - x)^2 = 0
(x^2 - 1 - 5 + x)(x^2 - 1 + 5 - x) = 0
(x^2 + x - 6)(x^2 - x + 4) = 0
(x + 3)(x - 2) = 0 (вторая скобка корней не имеет)
x = -3 или x = 2.
ответ. -3, 2.

8) |x^2 + x| + 3x - 5 = 0
|x^2 + x| = 5 - 3x
x^2 + x = 5 - 3x или x^2 + x = 3x - 5
x^2 + 4x - 5 = 0 или x^2 - 2x + 5 = 0
(x + 2)^2 = 9 или (x - 1)^2 = -4 - второе корней не имеет
x = -2 +- 3
x = -5 или x = 1
Проверка.
x = -5: |x^2 + x| + 3x - 5 = |25 - 5| - 15 - 5 = 0 - ok.
x = 1: |x^2 + x| + 3x - 5 = |1 + 1| + 3 - 5 = 0 - ok.
ответ. -5, 1.

9) x^2 + |x - 2| - 10 = 0
|x - 2| = 10 - x^2 >= 0, x ∈ [-√10, √10].
* √10 <= x < 2: x - 2 < 0, раскрываем модуль:
x^2 - x + 2 - 10 = 0
x^2 - x - 8 = 0
x^2 - x + 1/4 = 8 1/4 = 33/4
(x - 1/2)^2 = 33/4 = (√33 / 2)^2
x = (1 +- √33)/2
Корень со знаком "+": (1 + √33)/2 > (1 + 5)/2 > 2, не подходит.
Корень со знаком "-": он отрицательный, кроме того, (1 - √33)/2 > (1 - 6)/2 > -3 > -√10, подходит.
* 2 <= x <= √10: x - 2 >= 0.
x^2 + x - 2 - 10 = 0
x^2 + x - 12 = 0
x = -4 или x = 3.
В отрезок [2, √10] попадает только x = 3.
ответ. (1 - √33)/2, 3.

10) |x^2 - 4x| = 5
x^2 - 4x = +-5
x^2 - 4x + 4 = 4 +-5
(x - 2)^2 = 9 или -1 (во втором случае корней нет)
(x - 2)^2 = 3^2
x = 2 +- 3
x = -1 или x = 5.
ответ. -1, 5
Нажми, чтобы рассказать другим, насколько ответ полезен

Подробнее - на -