Решение: 1) 5·( х - 3 ) - 3·( х + 2 ) = 3 - х 5х - 15 - 3х - 6 = 3 - х 5х - 3х + х = 15 + 3 + 6 3х = 24 х = 24:3 х = 8 ответ: 8. Проверка: 5·(8 - 3) - 3·(8+2)=3 - 8 25 - 30 = -5 - 5 = - 5 - верно 2) х - у = 5 а) Если M (6; 2), то 6 - 2 = 5 4 = 5 - неверно, точка М не принадлежит прямой. б) Если N (4; -1), то 4 - (- 1) = 5 5 = 5 - верно, точка N принадлежит прямой. ответ: график уравнения не проходит через точку M, проходит через точку N.
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном промежутке: a) y = (2x + 50)/(x - 1), [1;10] Это гипербола у = 52/(х - 1) + 2 с точкой разрыва х = 1. Максимума функция не имеет, в том числе и на заданном промежутке. Минимум на заданном промежутке при х = 10, у = 70/9.
б) y=8 - 5x, [-1;1]. Это прямая, функция убывающая. Максимум на заданном промежутке при х = -1, у = 8+5=13. Минимум на заданном промежутке при х = 1, у = 8-5 = 3.
в) y=3 - cos x, [пи/3; 3пи/2]. При х = π cos = -1, тогда у = 3 + 1 = 4. Это максимум. Минимум равен 5/2 при х = π/3.
г)y=12 + x^2 - x^3/3, (-∞; 1] Производная y' = -x²+2x = -x(x - 2). Приравняв нулю, имеем 2 критические точки х = 0 и х = 2. У функции есть локальный максимум при х = 2 у = 40/3, минимум при х = 0. у = 12. Глобальных минимума и максимума нет.
№2.
Представьте число 9 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма удвоенного первого слагаемого и квадрата второго слагаемого была наименьшей. у = 2х + (9-х)² = 2x + 81 - 18x + x² = x² - 16x + 81. y' = 2x - 16 = 2(x -8). Приравняем производную нулю: 2(x -8) = 0, х = 8. Проверяем: 2*8 + 1 = 17. х = 5 у = 2*5 + 9 = 19. Значит, первое слагаемое 1, а второе 8. у = 2 + 64 = 66. Проверим х = 2, у = 4 + 49 = 53 правильно.
№3.
Садовод на своём дачном участке решил огородить прямоугольную клумбу заборчиком длиной 12 м. Каковы должны быть размеры клумбы, чтобы её площадь была наибольшей? Максимум площади при заданном периметре - у квадрата. S = (12/4)² = 9 м².
1) 5·( х - 3 ) - 3·( х + 2 ) = 3 - х
5х - 15 - 3х - 6 = 3 - х
5х - 3х + х = 15 + 3 + 6
3х = 24
х = 24:3
х = 8
ответ: 8.
Проверка:
5·(8 - 3) - 3·(8+2)=3 - 8
25 - 30 = -5
- 5 = - 5 - верно
2) х - у = 5
а) Если M (6; 2), то
6 - 2 = 5
4 = 5 - неверно, точка М не принадлежит прямой.
б) Если N (4; -1), то
4 - (- 1) = 5
5 = 5 - верно, точка N принадлежит прямой.
ответ: график уравнения не проходит через точку M, проходит через точку N.