Question

Составьте и решите неравенство: f'(x)/f(x)≤0 , если f(x)=((x-2))/(x+1))^2

Answer 1

$f(x)= \frac{x-2}{(x+1)^2} \\ \\ f'(x)= \frac{6x-12}{(x+1)^3} \\ \\ \frac{f'(x)}{f(x)}= \frac{6x-12}{(x+1)^3}* \frac{(x+1)^2}{x-2}= \frac{6x-12}{(x+1)(x-2)}$

$\frac{6x-12}{(x+1)(x-2)} \leq 0 \\ \\ \frac{6(x-2)}{(x+1)(x-2)} \leq 0 \\ \\ \frac{6}{x+1} \leq 0 \\ \\ x+1\ \textless \ 0 \\ x\ \textless \ -1$
$x \in (-\infty;-1)$

Answer 2

Решить неравенство $\mathtt{\frac{f'(x)}{f(x)}\leq0}$, если $\mathtt{f(x)=(\frac{x-2}{x+1})^2}$

$\mathtt{f'(x)=2*\frac{x-2}{x+1}*\frac{(x-2)'(x+1)-(x+1)'(x-2)}{(x+1)^2}=\frac{6(x-2)}{(x+1)^3}}$

$\mathtt{f'(x)/f(x)=\frac{6(x-2)}{(x+1)^3}*\frac{(x+1)^2}{(x-2)^2}=\frac{6}{(x+1)(x-2)}\leq0;~(x+1)(x-2)\ \textless \ 0}$

решая методом интервалов, получаем ответ: $\mathtt{x\in(-1;2)}$