Question

Найдите все квадратные трехчлены p(x) с целыми коэффициентами, удовлетворяющие при всех х неравенствам x^2+x+1≤p(x)≤ 2x^2+2x+2

Answer 1

  Положим что данный трехчлен имеет вид P(x)=ax^2+bx+с 
  x^2+x+1<=ax^2+bx+c<=2x^2+2x+2   
  
 1)
 x^2+x+1<=ax^2+bx+c   
 x^2(a-1)+x(b-1)+c-1>=0 
 2)
 ax^2+bx+c<=2x^2+2x+2  
 x^2(a-2)+x(b-2)+c-2<=0   
  
 При  1<a<2  
 1) 
  D=(b-1)^2-4(a-1)(c-1)<=0 
 2) 
  D=(b-2)^2-4(a-2)(c-2)<=0 
 
При a>2  
a-2>0 значит для второго    
x^2(a-2)+x(b-2)+c-2<=0    
Данное условие будет выполняться не для всех x E (-oo;+oo) так как ветви параболы направлены вверх  
   
 При a<1 
 a-1<0  значит ветви параболы x^2(a-1)+x(b-1)+c-1 направлены вниз, откуда данное условие x^2(a-1)+x(b-1)+c-1>=0 не выполнимо для  x E (-oo;+oo) 
 
Значит остается случаи 
При  1<a<2 но тогда a не целое.  
 
 Выходит что таких трехчленов нет .