Question

Как вычислить сумму 1*(1+1)+2*(2+1)+3*(3+1)++n*(n+1)

Answer 1

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \\ a_n = n(n+1) \\ a_1=2 \\ S_n=\frac{2+n(n+1)}{2}\cdot n = \frac{2+n^2+n}{2} \cdot n = \frac{n^3+n^2+2n}{2}$

Answer 2

Перемножим скобки и сгруппируем слагаемые так, чтобы получить арифметическую или что-нибудь еще

$1\cdot (1+1)+2\cdot (2+1)+3\cdot(3+1)+...+n\cdot(n+1)=1+1+4+2+\\ \\+9+3+...+n^2+n=(1+2+3+...+n)+(1+4+9+...+n^2)~\boxed{=}$

Последовательность $1+2+3+...+n$ представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом $a=1$ и разностью $d=1$, а последовательность $1+4+9+...+n^2$ имеет равенство(по формуле суммы квадратов n первых квадратов натуральных чисел)

$1+4+9+...+n^2= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
(Эта формула доказывается методом математической индукции).

Окончательно имеем, что

$\boxed{=}~ \dfrac{2+(n-1)\cdot 1}{2}\cdot n+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \dfrac{n^2+n}{2}+ \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \\ \\ \\= \dfrac{(n+1)(3n+2n^2+n)}{6}= \dfrac{(n+1)(2n^2+4n)}{6}= \dfrac{2n(n+1)(n+2)}{6}$