Відповідь:
Еще недавно, учась сложению чисел, мы складывали кучки из монет. Тогда перед нами стояла задачи сложить две кучки. Но допустим, мы хотим теперь сложить не две, а несколько кучек. Это можно было бы сделать так: сгребаем их все сразу в одну большую кучу и пересчитываем в ней все монеты. Такой сложения всем бы был хорош, да только ни на счетах, ни на бумаге нельзя сделать ничего подобного. На счетах и бумаге мы умеем складывать между собой только два числа. Поэтому мы не будем сгребать вместе сразу все кучки, а поступим так, чтобы все наши действия можно было легко перенести на бумагу.
Итак, перед нами несколько кучек из монет. Мы знаем, сколько монет в каждой кучке, и теперь мы хотим узнать, сколько же у нас всего монет во всех кучках. Мы берем любые две кучки и сдвигаем их вместе, образуя одну новую кучку побольше. Умея складывать два числа на бумаге, мы сможем легко вычислить, сколько у нас монет в новой кучке без фактического их пересчета. Теперь у нас стало на одну кучку меньше. Далее, берем еще две кучки, сливаем их воедино, вычисляем новое число монет в только что образованной кучке и, таким образом, снова уменьшаем количество кучек на одну. Мы повторяем и повторяем эту процедуру, уменьшая всякий раз число кучек на единицу, до тех пор пока у нас не останется одна-единственная большая куча. Число монет в этой куче нам известно, причем вычислили мы его на бумаге, а не прямым пересчетом.
Очевидно, мы получим один и тот же ответ, совершенно независимо от того, в каком порядке мы сдвигали кучки. А значит, когда перед нами находится сумма чисел, например,
8 + 9 + 2, мы можем вычислять ее тоже в любом порядке. Поэтому мы всегда будем выбирать такой порядок, какой для нас наиболее удобен. В данном случае удобно вначале сложить восьмерку и двойку, а потом добавить девятку:
8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19.
(sin 45*cos a + cos 45*sin a)^2 - (sin 30*cos a - cos 30*sin a)^2 -
- sin 15*(cos 15*cos 2a - sin 15*sin 2a) =
= (1/√2*cos a + 1/√2*sin a)^2 - (1/2*cos a - √3/2*sin a)^2 -
- sin 15*cos 15*cos 2a + sin^2 15*sin 2a =
= 1/2*cos^2 a + 2*1/2*cos a*sin a + 1/2*sin^2 a - 1/4*cos^2 a +
+ 2*√3/4*sin a*cos a - 3/4*sin^2 a - 1/2*sin 30*cos 2a + (1-cos 30)/2*sin 2a =
= cos^2 a*(1/2 - 1/4) + sin^2 a*(1/2 - 3/4) + sin 2a*(1/2 + √3/4 + 1/2 - √3/4) -
- 1/4*cos 2a =
= 1/4*cos^2 a - 1/4*sin^2 a + sin 2a*(1 + 0) - 1/4*cos 2a = sin 2a
2) доказывается точно также
cos^2(45-a) + cos^2(60+a) - cos 75*sin(75-2a) =
= (cos 45*cos a + sin 45*sin a)^2 + (cos 60*cos a - sin 60*sin a)^2 -
- cos(90-15)*sin(90-15-2a) =
= (1/√2*cos a + 1/√2*sin a)^2 + (1/2*cos a - √3/2*sin a)^2 -
- sin 15*cos(15+2a) =
= (1/√2*cos a + 1/√2*sin a)^2 + (1/2*cos a - √3/2*sin a)^2 -
- sin 15*(cos 15*cos 2a - sin 15*sin 2a)
Этот пример абсолютно совпадает с 1) и тоже равен sin 2a