Question

Решить . lim 1+2+3++n/(n-1)(n+3)+2 n-> ∞

Answer 1

Рассмотрим последовательность 1+2+...+n. Эта последовательность является арифметической прогрессии с первым членом $a_1=1$ и разностью прогрессии $d=1$. Тогда сумма n первых членов арифметической прогрессии:

$S_n= \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n= \dfrac{2\cdot 1+1\cdot (n-1) }{2}\cdot n= \dfrac{n^2+n}{2}$

Найдем теперь предел:

      $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{n^2+n}{2} }{(n-1)(n+3)+2} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \frac{1+ \frac{1}{n} }{(1-\frac{1}{n})(1+\frac{3}{n})+\frac{2}{n^2}} = \frac{1}{2} \cdot 1=\frac{1}{2}$