Question

Если cos x * ctgx = -1 , то значение выражения (1-2sinx)² равно

Answer 1

Cosx*ctgx=-1
cosx*cosx/sinx=-1
cos²x=-sinx
1-sin²x=-sinx
sin²x-sinx-1=0   |×4
4sin²x-4sinx-4=0
4sin²x-4sinx+1-5=0
4sin²x-4sinx+1=5
(1-2*sinx)²=1-4sinx+4sin²x=4sin²x-4sinx+1=5.
ответ: (1-2*sinx)²=5.

Answer 2

Сначала раскроем (1 - 2sinx)² = 1 - 4sinx + 4sin²x. Теперь попробуем преобразовать данное нам равенство так, чтобы получить нужное значение. 
Распишем ctgx: ctgx = $\frac{cosx}{sinx}$. Нужно заметить, что sinx ≠ 0 (знаменатель), т.е. x ≠ πn, n ∈ Z. 
$\frac{cos^2x}{sinx}$ = -1
Домножим обе части на sinx: мы заранее поставили условие, что sinx ≠ 0. 
cos²x = -sinx
Распишем cos²x как 1 - sin²x (по основному тригонометрическому тождеству): 
1 - sin²x = -sinx
sin²x - sinx - 1 = 0
Вспомним, значение чего мы ищем. Нам нужно знать, чему равно 1 - 4sinx + 4sin²x. Тогда домножим наше уравнение на 4: 
4sin²x - 4sinx - 4 = 0
4 разложим как 5 - 1: 
4sin²x - 4sinx - 5 + 1 = 0
4sin²x - 4sinx + 1 = 5
Это и есть наш ответ. Значение выражения (1 - sinx)² = 5. 

ответ: 5 при x ≠ πn, n ∈ Z. 
Думаю, что можно не оговариваться насчет допустимых значений x (смотря как в школе пишете, но вряд ли будет лишним), но всегда нужно иметь в виду, когда ctgx определен.