2) N делится на 45=9·5 (9 и 5 взаимно простые числа);
3) Сумма цифр числа равна 18.
В силу условия 1) первая цифра числа N равна 1, то есть число представимо в виде
N = 1xyz, где xyz - неизвестные цифры (0≤x≤9, 0≤y≤9, 0≤z≤9).
Далее, по условию 2) число N делится на 5. Тогда по признаку делимости на 5 число должен оканчиваться на цифру 0 или 5, поэтому представимо в двух видах (z=0 или z=5):
N = 1xy0 или N = 1xy5.
По условию 3) сумма цифр числа равна 18. В силу этого условия число делится на 9 (по признаку делимости на 9) и поэтому остается найти цифры числа на основе условия 3).
А) Рассмотрим вид N = 1xy0. Так как по условию 3) 1+x+y+0=18, то получим:
x+y=17. В этом случае получим только варианты:
x=8, y=9 или x=9, y=8. Но эти числа 1890 и 1980 не подходят по условию 1).
Б) Рассмотрим вид N = 1xy5. Так как по условию 3) 1+x+y+5=18, то получим:
Для упрощения заменим tgx на, например, а. Неравенство примет вид: (a-1)*(a^2 - (1/4)*a - 3/4) <= 0 Найдём нули (и одновременно точки смены знака) левой части: Сначала рассматриваем первую скобку: a - 1 = 0 a = 1 Теперь вторую скобку: a^2 - (1/4)*a - 3/4 = 0 Обычное квадратное уравнение. Находим дискриминант: D = (1/4)^2 - 4 *(-3/4) = 1/16 + 3 = 1/16 + 48/16 = 49/16 = (7/4)^2 Теперь корни: a1,2 = (1/4 +- 7/4) / 2 = {1; -3/4} Итого у нас есть обычный корень -3/4 и корень кратности два -1 - то есть в этой точке функция будет нулевой, но знак менять не будет. Наносим их на числовую ось, подставляем любое некое значение (пусть будет a=0 и ищем знаки функции): (0-1)*(0^2 - (1/4)*0 - 3/4) = -1*(-3/4) = 3/4 При а = 0, т.е. на интервале от -3/4 до 1, функция положительна. Значит слева от -3/4 она отрицательна (в этой точке знак меняется), а справа от 1 положительна (не меняется). Возвращаемся к неравенству. Надо найти, где всё это меньше либо равно нулю. Это интервал от минус бесконечности до -3/4 включительно и отдельно точка 1. Но это мы нашли интервалы для нашей замены a. А теперь вернёмся к х и проведём обратную замену. Получается совокупность неравенства и уравнения: tg x <= -3/4 tg x = 1 Решаем неравенство: Тут можно нарисовать единичную окружность и отложить эту область - чтобы тангенс был отрицательным, синус и косинус должны иметь разный знак (значит угол во второй либо четвёртой четверти), абсолютное значение синуса должен быть 3/4 от косинуса или менее. На единичной окружности это будет выглядеть как заштрихованная область. В письменном виде это можно выразить как: х = [arctg -3/4; П] или [arctg -3/4; 2П]. Можно найти значения угла с таким тангенсом, но оно явно не обычное, нужны таблицы Брадисса или калькуляторы. Решаем уравнение: tg x = 1 x = arctg 1 = П/4 + ПN, где N = 0,1,2... На единичной окружности это две точки друг напротив друга. Общим решением будет совокупность решений неравенства (дающая два сектора окружности) и уравнения (дающая две точки). Спрашивайте, если что непонятно.
A) y = x², x ≥ 0 Возьмём две точки x₁ и x₂, такие, что x₁ > x₂ y(x₁) = x₁² y(x₂) = x₂² Найдём разность значений функции: y(x₁) - y(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) Т.к. x ≥ 0, то x₁ + x₂ > 0, т.к. x₁ > x₂, то x₁ - x₂ > 0. Значит, y(x₁) - y(x₁) > 0, отсюда делаем вывод, что функция возрастающая (при увеличении аргумента увеличивается и значение функции).
b) y = x², x ≤ 0 Делаем то же самое и получаем: y(x₁) - y(x₂) = x₁² - x₂² = (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) Т.к. x ≤ 0, то x₁ + x₂ < 0, т.к. x₁ > x₂, то x₁ - x₂ > 0. Значит, y(x₁) - y(x₂) < 0, отсюда делаем вывод, что функция убывающая (при увеличении аргумента значение функции уменьшается).
Объяснение:
Пусть N искомое натуральное число. По условию
1) 1000 < N < 1700;
2) N делится на 45=9·5 (9 и 5 взаимно простые числа);
3) Сумма цифр числа равна 18.
В силу условия 1) первая цифра числа N равна 1, то есть число представимо в виде
N = 1xyz, где xyz - неизвестные цифры (0≤x≤9, 0≤y≤9, 0≤z≤9).
Далее, по условию 2) число N делится на 5. Тогда по признаку делимости на 5 число должен оканчиваться на цифру 0 или 5, поэтому представимо в двух видах (z=0 или z=5):
N = 1xy0 или N = 1xy5.
По условию 3) сумма цифр числа равна 18. В силу этого условия число делится на 9 (по признаку делимости на 9) и поэтому остается найти цифры числа на основе условия 3).
А) Рассмотрим вид N = 1xy0. Так как по условию 3) 1+x+y+0=18, то получим:
x+y=17. В этом случае получим только варианты:
x=8, y=9 или x=9, y=8. Но эти числа 1890 и 1980 не подходят по условию 1).
Б) Рассмотрим вид N = 1xy5. Так как по условию 3) 1+x+y+5=18, то получим:
x+y=12. В этом случае получим только варианты:
x=3, y=9, x=9, y=3, x=4, y=8, x=8, y=4, x=5, y=7, x=7, y=5, x=6, y=6.
Получили следующие числа:
1395, 1935, 1485, 1845, 1575, 1755, 1665.
По условию 1) не подходят числа 1935, 1845, 1755.
Наконец, получим ответ, всего эти числа удовлетворяют заданным условиям:
1395, 1485, 1575, 1665.
Как видно, 1665 подходит.