Question

Решите уравнение: sin³x + cos³x = 1

Answer 1

Разложим в левой части уравнения по формуле суммы кубов

$\tt (\sin x+\cos x)(\sin^2x-\sin x\cos x+\cos^2x)=1\\ (\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=1$

Пусть $\tt \sin x+\cos x=t$ и при этом $\tt |t|\leq \sqrt{2}$, тогда, возведя в квадрат левую и правую части равенства $\tt 1+2\sin x\cos x=t^2~~~\Rightarrow~~~\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$

$\tt t\cdot\left(1-\frac{t^2-1}{2} \right)=1~|\cdot 2\\ \\ 2t-t^3+t=2\\ 2t-2-t^3+t=0\\ 2(t-1)-t(t-1)(t+1)=0\\ (t-1)(2-t^2-t)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\tt t-1=0~~~\Rightarrow~~ t_1=1\\ \\ \tt 2-t^2-t=0\\ t^2+t-2=0$

По т. Виета: $\tt t_1=1$

$\tt t_2=-2$ - не удовлетворяет условию при |t|≤√2

Обратная замена:

$\tt \sin x+\cos x=1\\ \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4} )=1\\ \sin(x+\frac{\pi}{4} )=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ x+\frac{\pi}{4} =(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\\boxed{\tt x=(-1)^k\cdot\frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} +\pi k,k \in \mathbb{Z}}$